최소 내적 제품 쿼리에 대한 데이터 구조

표준 도트 곱 및 벡터 ( 장착 된 고려하십시오 . 주어진 출력 형식의 쿼리를 허용하는 데이터 구조를 구축하려고합니다 . 사소한 O (nm) 쿼리 시간을 넘어 설 수 있습니까? 예를 들어, n = 2 인 경우 즉시 O (\ log ^ 2 m) 를 얻습니다 .$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

내가 올 수있는 유일한 것은 다음과 같습니다. Johnson-Lindenstrauss lemma의 모든 결과는 모든 $\varepsilon > 0$ 및 \ mathbb {R} ^ n 에 대한 \ mathcal {D} 분포 에 대해 선형 매핑 f \ colon \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ {O (\ 로그 m)} (될 수있는 계산 에 (O n \ 로그 m) 회)되도록 \ mathrm는 {잠} _ {X \ SIM \ mathcal {D}}이 \ 왼쪽 [ \ forall i \ quad \ langle x, v_i \ rangle-\ varepsilon (\ | x \ | + \ | v_i \ |) ^ 2 \ leq \ langle f (x), f (v_i) \ rangle \ leq \ langle x v_i \ rangle + \ varepsilon (\ | x \ | + \ | v_i \ |) ^ 2 \ right] \ geq 1-\ varepsilon . 따라서 시간 O ((n + m) \ log m)에서 우리는 계산할 수 있습니다$\mathcal{D}$$\mathbb{R}^n$$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$$O(n \log m)$$\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$$O((n + m) \log m)$뭔가 어떤 의미 가까이에에 $\min_i \langle x, v_i \rangle$ 에 가장 $x$ 의 (규범 적어도 경우 $\|x\|$ 와 $\|v_i\|$ 작).

UPD 로컬에 민감한 해싱을 사용하는 경우 위에서 언급 한 범위는 쿼리 시간 O (n + m) 으로 다소 선명해질 수 있습니다 $O(n + m)$. 보다 정확하게는 $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ 독립 가우스 벡터 $r_1, r_2, \ldots, r_k$ 합니다. 그런 다음 $\mathbb{R}^n$ 을 다음과 같이 \ {0,1 \} ^ k에 매핑 $\{0,1\}^k$합니다. $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ . 그런 다음 이 매핑의 이미지에서 \ ell_1 -distance를 계산 하여 추가 오차 \ varepsilon 내의 두 벡터 사이의 각도를 추정 할 수 있습니다 . 따라서 가산 오차 내에서 내적을 추정 할 수 있습니다$\varepsilon$$\ell_1$$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$에서 $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ 시간.

쿼리 벡터가 사전 처리 된 컬렉션의 일부 벡터와 직교인지 확인하려는 특수한 경우를 고려하십시오. (즉, 논의중인 벡터가 음이 아닌 계수를 갖는 인지 확인하려고합니다 .)이 경우는 이미 매우 흥미 롭습니다.$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

당신이 질의에 응답 할 수 있다고 가정 일부 시간 으로 (전처리를 다항식의 차수는 또는 또는 에 의존해서는 안됩니다 .$n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

논문 "최적의 2- 제약 만족도 및 그 의미에 대한 새로운 알고리즘"논문에서, 그러한 데이터 구조는 실제로 시간에 CNF-SAT를 해결할 수 있다는 것을 관찰했습니다 . 여기서 는 변수 수입니다. 이것은 k-SAT가 무한한 대해 시간을 필요로한다는 "강한 지수 시간 가설"을 반박 할 것이다 .$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

이유를 확인하기 위해 전처리 시간이 제한되어 있다고 가정합니다 . 변수와 절을 가진 CNF 공식 를 고려하십시오 . 변수 세트를 각각 크기 및 두 부분 및 로 나눕니다 . 파트의 변수에 가능한 모든 지정을 나열하십시오 (각각 및 지정). 이러한 부분 할당 각각을 비트 벡터 와 연관 시키십시오 여기서 iff the$(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$ th 절은 의해 충족되지 않습니다 . 따라서 우리는 지수 적으로 많은 비트 벡터 목록을 가지고 있습니다.$F$$A_i$

공지 사항 것을 벡터가 IFF에 만족할 것입니다 에 할당에서 와 벡터 에 할당에서 등이 .$F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

이제 가정하고 부분의 모든 벡터로 가정 된 데이터 구조를 사전 처리하십시오 . 가정에 따르면 시간 이 걸립니다 . 파트 대입에서 모든 벡터에 대해 쿼리 알고리즘을 실행하십시오 . 가정에 따르면 이것은 . 이라고하자 .$m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

기존 기법으로 효율적인 전처리 및 쿼리 시간을 얻을 수 있습니다. 가장 잘 알려진 CNF-SAT 알고리즘은이를 배제하지 않습니다. ( 과 같은 결과를 얻습니다 .) 그러나 를 계산 이 약간 더 강력합니다.이 설정에서는 MAX CNF-SAT를 해결하는 것과 같습니다.$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

Chao Xu가 암시한다고 생각하는 정확한 답변에 대한 한 가지 아이디어가 있습니다. 먼저 Chao가 지적했듯이 정규화 할 수 있음을 관찰하십시오 . 이제 방향에 수직 인 초평면 고려하십시오 . 목표는이 초평면에 가장 가까운 지점을 찾는 것입니다. 이중성으로, 이것은 쿼리 포인트 "위"에 가장 가까운 평면을 찾기 위해 초평면 배열의 광선 촬영 쿼리에 해당합니다. 이것이 전처리 될 수 있기 때문에, 주요 복잡성은 점 위치이며, 따라서 문제는 이제 초평면 배열에서 점 위치를 수행하는 복잡성으로 감소되었습니다. 절단을 사용하면 공간 에서 시간 안에 수행 할 수 있습니다 .$x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$