그래프 속성의 감도

[1]에서 Turan은 그래프 속성의 민감도 (종이에서 "심각한 복잡도"라고 함)가 보다 엄격하게 크다는 것을 여기서은 그래프의 꼭짓점 수입니다. 그는 사소하지 않은 그래프 속성의 감도가이라고 추측합니다. 그는 이것이대해 검증되었다고 언급했다. 이 추측에 진전이 있었습니까? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

배경

하자 에 진 문자열 . 비트를 뒤집어서 에서 얻은 문자열이되도록 에 대해 를 정의 합니다. 부울 함수 \ to 경우 에서 의 감도 를 로 정의하십시오 $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ . 마지막으로 정의감도의 등 $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

그래프 특성 컬렉션은 그래프이고 그 경우 와 동형 인 다음 . 그래프 속성 는 속성 의 합집합으로 생각할 수 있습니다. 여기서 은 꼭지점 이있는 그래프로 구성된 의 하위 집합입니다 . 또한 그래프 속성 을 의 부울 함수로 생각할 수 있습니다. 여기서 $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . 길이의 이진 벡터로꼭지점에대한 그래프를 인코딩 할 수 있습니다. 벡터의 각 항목은 꼭짓점 쌍에 해당하며 항목이그래프에있는 경우입니다. 따라서, 그래프 특성의 민감도는 민감도이다...로서부울 함수. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Turan, G., 그래프 속성의 중요한 복잡성, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— 흠
소스

Buhrman과 de Wolf ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps ) 의 2002 년 설문 조사를 보셨습니까 ? 질문에 직접 대답하지는 않지만 일반적인 함수의 감도 및 모노톤 그래프 속성에 대한 자세한 정보가 있습니다.

— Suresh Venkat

인코딩 요구

비트

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Diego de Estrada

Suresh가 지적한 설문 조사는 Wegener [1]가 추측을 부분적으로 확인하는 논문을 발표했다. 모든 모노톤 그래프 속성을 유지하며 부등식이 빡빡합니다 ( "고립 된 정점이 없음"속성을 고려하십시오). 더 최근의 결과도 감사하겠습니다.

Wegener, L. 모든 (모노톤) 부울 함수와 모노톤 그래프 속성의 중요한 복잡성. 정보 및 통제 , 67 : 212-222, 1985.

— 흠
소스