3 가지 색상 주기로 Markov 체인을 빠르게 혼합

Glauber 역학은 각 단계에서 무작위로 선택한 정점을 임의의 색상으로 다시 칠하기 위해 그래프의 채색에 대한 Markov 체인입니다. 5 사이클의 3 가지 색상에는 혼합되지 않습니다. 3 가지 색상은 30 가지이지만 단일 정점 색상 변경 단계를 통해 15 가지만 도달 할 수 있습니다. 보다 일반적으로, n = 4가 아닌 한 n- 사이클의 3 색 을 혼합하지 않는 것이 보여 질 수있다 .

켐프 체인 또는 Wang-Swendsen-Kotecký 역학은 조금 더 복잡합니다. 각 단계에서 임의의 정점 v와 임의의 색상 c를 선택하지만 두 가지 색상 (c와 색상의 색상)으로 유도 된 하위 그래프를 찾습니다. v) 및 v를 포함하는 구성 요소 내에서 이러한 색상을 교체합니다. Glauber 역학과 달리주기의 모든 3 색에 도달 할 수 있다는 것을 알기 어렵지 않습니다.

Wang-Swendsen-Kotecký 역학은 n- 정점 사이클 그래프의 3 색에서 빠르게 혼합되고 있습니까?

Molloy (STOC 2002)의 결과를 통해 색상의 수가 최소 1.489 배 정도 (여기에서는 true)이고 색상이있는 그래프의 둘레가 높을 때 (또한) Glauber가 빠르게 혼합되고 있음을 알고 있습니다. 그래프의 크기에서 정도가 최소한 로그 (주기 그래프의 경우는 아님) 여야하므로 적용되지 않는 것 같습니다.

나는 Dana Randall로부터 이메일로 다음과 같은 솔루션을 얻었으므로 솔루션에 대한 모든 크레딧은 그녀에게 가야합니다 (이 답을 찬성하지 마십시오).

Dana 솔루션의 짧은 버전은 다음과 같습니다. 잠재적으로 큰 2 색 영역이 다시 칠 해지는 Markov 체인을 사용하는 대신 2 개의 꼭짓점의 색상을 반복적으로 제거한 다음 유효한 열을 선택하는 "열탕"을 사용하십시오. 그들을 위해 무작위로 채색. 이 사슬이 혼합되면 다른 사슬도 마찬가지라는 것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다. 그러나 표준 경로 커플 링 논쟁은 열욕이 실제로 혼합되어 있음을 보여주는 것으로 밝혀졌습니다.

긴 버전은 여기에 포함하기에 너무 길기 때문에 대신 블로그 게시물 에 넣었습니다 .