P와 NPC의 문제

팩토링 및 그래프 동형화는 P에서 또는 NP-Complete로 알려지지 않은 NP의 문제입니다. 이 속성을 공유하는 다른 (충분히 다른) 자연 문제는 무엇입니까? Ladner 정리 증명에서 직접 나오는 인공적인 예는 포함되지 않습니다.

"합리적인"가설 만 가정 할 때 이러한 예 중 NP- 중간에 해당되는 사례가 있습니까?

다음은 P와 NPC 사이의 문제에 대한 응답의 모음입니다.

• 팩토링
• 동형 문제 : 그래프 동형 [NPC하지 않는 ] 그래프 동형 그룹 동형, 동형 (@Jeff Kinne 통해) 링 동형과 동형 (@Joshua Grochow 통해)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• 두 개의 이진 트리 사이 의 회전 거리 또는 동일한 평면 점 세트의 두 삼각 측량 사이의 플립 거리 계산 (@David Eppstein을 통해)
• @Suresh Venkat를 통해 거리에서 떨어진 지점에서 포인트를 재구성 하는 턴 파이크 문제
• 고유 게임 추측 에서 발생하는 문제 (@Moritz를 통해)
• 이산 로그 문제 및 암호화 가정과 관련된 기타 (@Joe Fitzsimons를 통해)
• 패리티 게임 에서 승자 결정 (@mashca를 통해)
• 확률 적 게임 에서 이길 확률 이 가장 높은 사람 결정 (MO의 @Peter Shor를 통해)
• 상자 문제 (@Joshua Grochow를 통해)
• 균형 잡힌 단일 제거 토너먼트를위한 의제 제어 (@virgi를 통해)
• 매듭 사소함 (@JeffE를 통해)
• (NEXP ≠ EXP로 가정) 채워진 NEXP의 완전한 버전 (@Joshua Grochow를 통해)
• TFNP 문제 (@Marcos Villagra를 통해)
• 교차 모노톤 SAT (@ András Salamon을 통해)
• 최소 회로 크기 문제 (@Eric Allender를 통해)
• 주어진 삼각 측량 3 매체가 3 구인지 결정하기 (@Joe O'Rourke 및 @Peter Shor를 통해)
• 절단 스톡 문제 (@Suresh 벤 카트를 통해) 대상물 길이의 일정한 개수
• 모노톤 자기 이중성 (@Danu을 통해)
• 평면 최소 이분법 ( @turkistany 를 통해)
• 비둘기 구멍 하위 집합 합계 (@ user834를 통해)
• 제곱근 합 (@JeffE를 통해)
• 그래프가 올바른 라벨링 을 허용 하는지 결정하기 (@Oleksandr Bondarenko를 통해)
• 격자 문제 에서 가장 가까운 벡터 의 갭 버전 GapCVP (@MCH를 통해)$(\sqrt{n})$
• 선형 정제의 문제점을 해결하기 위해 공지 될 - 완전한 아니라 NPC (@Oleksandr 렌코 통해)$\gamma$
• VC 차원 찾기 (@Mohammad al Turkistany를 통해)
• 토너먼트에서 최소 지배 세트 찾기 (@Mohammad al Turkistany를 통해)
• 클러스터 된 평면성

이 클래스에서 내가 가장 좋아하는 문제 (기능 문제로 표현하지만 표준 방식으로 결정 문제로 쉽게 전환 할 수 있음) : 두 이진 트리 사이의 회전 거리를 계산합니다. 볼록한 다각형).

이 목록이나 MO 목록에 언급되지 않은 문제는 유료 문제입니다. n (n-1) / 2 숫자의 다중 집합이 주어지면 선의 두 점 사이의 거리를 나타내는 각 숫자는 원래 점의 위치를 ​​재구성합니다.

이것이 중요하지 않은 것은 다중 집합에서 주어진 숫자 d에 대해 어떤 단위의 쌍이 d 단위 떨어져 있는지 알 수 없다는 것입니다.

주어진 인스턴스에 대해 다항식 수의 솔루션 만있는 것으로 알려져 있지만 , 솔루션을 찾는 방법은 알려져 있지 않습니다!

제곱근 문제의 합 : 양의 정수의 두 개의 시퀀스 및 b 1 , b 2 , … , b n 이 주어지면 A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ B보다 작거나 같거나 크다:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• 이 문제는 실제 RAM에 대한 간단한 -시간 알고리즘을 가지고 있습니다. 즉, 합계를 계산하고 비교하면됩니다. 그러나 이것이 P의 멤버십을 의미하지는 않습니다.$O(n)$

• 명백한 유한 정밀도 알고리즘이 있지만, 다항식 수의 정밀도 비트가 정확성에 충분한 지 여부는 알려져 있지 않습니다. (자세한 내용은 http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html 을 참조하십시오.)

• 피토 고 라스 정리는 정점과 정수 끝 점이 정수의 제곱근의 합인 다각형 곡선의 길이를 의미합니다. 따라서 근 합 문제는 유클리드 최소 스패닝 트리 , 유클리드 최단 경로 , 최소 가중치 삼각 분할 및 유클리드 여행 세일즈맨 문제를 포함한 몇 가지 평면 계산 기하학 문제에 내재되어 있습니다 . (유클리드 MST 문제는 기본 matroid 구조와 EMST가 들로네 삼각 분할의 하위 그래프라는 사실에 의해 근소 문제를 해결하지 않고 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다.)

• 가 이다 다항식 시간 무작위 알고리즘, 요하네스 Blömer로 인해 두 합계가 동일 여부를 결정하기는. 그러나 대답이 아니오 인 경우 Blömer의 알고리즘은 어떤 합이 더 큰지를 결정하지 않습니다.

• 이 문제의 결정 버전 ( ?)은 NP에있는 것으로 알려지지 않았습니다. 그러나 Blömer의 알고리즘은 결정 문제가 NP에 있으면 co-NP에도 있음을 의미합니다. 따라서 문제가 NP- 완전하지 않을 수 있습니다.$A > B$

다음은 "충분히"다른 것으로 보일 수도 있고 그렇지 않을 수도있는 문제의 목록입니다. Graph Isomorphism과 같은 증거로 NP-complete 인 경우 Polynomial Hierarchy는 두 번째 수준으로 축소됩니다. 나는이 중 어느 것이 P에 있어야하는지에 대한 광범위한 합의가 없다고 생각한다.

• 그래프 자동 형성 (그래프에 사소한 자동 형성이 있는지 확인). 그래프 동 형사상을 줄이지 만, GI- 하드 인 것으로 알려지지 않았다 (생각하지 않습니까?).
• 그룹 동형 및 이형 (그룹은 곱셈 테이블에 의해 주어진다). 다시 말하지만, 그래프 동형이 줄어들지 만 GI-hard라고 생각되지는 않습니다.
• 고리 동형 및 이형성. 어떤 의미에서, 정수 인수 분해는 고리의 사소한자가 형성을 찾는 것과 동등하고 그래프 동형이 고리 동형으로 감소하기 때문에 이것은 위의 모든 문제의 웅변입니다. Nitin Saxena의 Neeraj Kayal을 참조하십시오 . 고리 형태의 문제의 복잡성. 계산 복잡성 15 (4) : 342-390 (2006). (흥미롭게도, 고리에 사소한자가 변형이 있는지 결정 하는 것은 있습니다.)$P$
• Bill Gasarch 의이 게시물 에는 램지 이론의 취향과 관련하여 중간에있을 수있는 다른 문제가 있습니다.
• Mahaney의 정리에 따르면, 희소 세트는 NP- 완료 될 수 없습니다. 그러나 우리는 또한 스파 스의 집합이 있다는 것을 알고 - P의 IFF N E X P가 동일하지 않은 E X의 P가 . 따라서 가정 N E X P ≠ E X P 임의의 패딩 버전 N E X P - 완전한 문제점은 중간 단계이다. ( N E X P = E X P가 아닌 한 이러한 세트는 P에 있을 수 없습니다.$NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$자연적인 완전한 문제 가 많이 있습니다.$NEXP$

MCSP (Minimum Circuit Size Problem)는 NP에서 완전하지 않은 것으로 알려진 NP에서 내가 가장 좋아하는 "자연적인"문제입니다. 숫자 s가 주어지면 f의 회로 크기는 s입니까? MCSP가 쉬운 경우 암호로 안전한 단방향 기능이 없습니다. 이 문제와 그 변형은 러시아에서 "브 루트 포스 (brute-force)"알고리즘 연구에 대한 많은 동기 부여를 제공하여 NP- 완전성에 관한 Levin의 연구로 이어졌다. 이 문제는 리소스가 제한된 Kolmogorov의 복잡성으로 볼 수도 있습니다. 간단한 설명에서 문자열을 빠르게 복구 할 수 있는지 묻습니다. 이 버전의 문제는 Ko에 의해 연구되었습니다. MCSP라는 이름은 내가 아는 한 Cai와 Kabanets에 의해 처음 사용되었습니다. 내 논문에서 더 많은 참고 자료를 찾을 수 있습니다. http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

모노톤 자체 이중성

어느 부울 함수 들어 $f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ , 그 이중의 것은 $f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$ . 주어 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$CNF 공식으로 표현되면 $f=f^d$ 인지를 결정해야합니다 .

이 문제는 co-NP [ $\log^2 n$ ]에 있으며, 즉 $O(\log^2n/ \log\log n)$ 비 결정적 단계 로 결정할 수 있습니다. 따라서 준 다항식 시간 알고리즘 ( $O(n^{\log n/\log \log n})$ 시간)을 가지므로 co-NP-hard 일 가능성이 낮습니다.

이 문제가 P에 있는지 여부는 여전히 열려 있습니다. 자세한 내용은 2008 년 논문 " 단조 이원화의 계산 측면 : 간단한 설문 조사 "에서 확인할 수 있습니다. Thomas Eiter, Kazuhisa Makino 및 Georg Gottlob.

사소한 매듭 : 3 칸에 닫힌 다각형 사슬이 주어지면, 묶이지 않는가 (즉, 평평한 원에 대한 주변 동위 원소)?

이것은 정상적인 표면 이론에서 더 깊은 결과에 의해 NP에있는 것으로 알려져 있지만, 폴리-시간 알고리즘 또는 NP- 경도 증명은 알려져 있지 않습니다.

플레이어 1이 패리티 게임에서 주어진 시작 위치에서 승리 전략을 가지고 있는지 다항식 시간으로 결정할 수 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다. 그러나 문제는 NP와 co-NP, 심지어 UP과 co-UP에도 포함되어 있습니다.

Max-Cut을 계수 0.878 이내로 근사화하는 등 근사 문제를 기꺼이 받아들이려면 매우 긴 문제 목록을 얻습니다. 우리는 그것이 NP-hard인지 P인지 알 수 없습니다 (Uuniqe Games 추측을 가정 한 NP-hardness 만 알고 있습니다).

A의 모노톤 CNF 공식 모든 절은 긍정적 인 리터럴 또는 부정적인 리터럴이 포함되어 있습니다. 에서 교차 모노톤 CNF 수식 모든 긍정적 절은 모든 네거티브 절 공통 일부 변수를 갖는다.

결정 문제

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Thomas Eiter와 Georg Gottlob, 하이퍼 그래프 횡단 계산 및 논리 및 AI 관련 문제 , JELIA 2002. doi : 10.1007 / 3-540-45757-7_53

삼각 분할 된 3 매 매니 폴드는 3 구입니까? Joe O'Rourke에서.

부분 집합 합계 (또는 부분 집합 합계) 의 비둘기 구멍 버전 .

주어진:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

비둘기 구멍 부분 집합 합계 문제는 그러한 해결책을 요구합니다. Bazgan, Santha 및 Tuza의 "SUBSET - SUMS EQUALITY 문제에 대한 효율적인 근사 알고리즘 "에 원래 언급되어 있습니다.

숨겨진 부분 군을 찾는 것과 관련된 많은 문제가 있습니다. 팩토링에 대해 언급했지만 이산 로그 문제와 타원 곡선 등과 관련된 문제도 있습니다.

P로 알려지지 않았고 NP- 완료되거나 아닐 수있는 계산적 사회 선택에 문제가 있습니다.

균형 잡힌 단일 제거 토너먼트를위한 의제 제어 :

$T$$n=2^k$$a$

질문 : 노드가 단일 치환 토너먼트의 승자가되도록 노드 ( 괄호 ) 의 순열이 있습니까?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

균형 잡힌 단일 제거 토너먼트를위한 의제 제어 (그래프 구성) :

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

일부 참고 문헌 :

1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh : 순차적 다수결 투표에서 우승자 결정. IJCAI 2007 : 1372-1377.
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus 및 M. Wooldridge. 선거와 경쟁을 막는 방법. COMSOC 2008.
3. Thuc Vu, Alon Altman, Yoav Shoham. 녹아웃 토너먼트의 일정 관리 문제가 복잡합니다. AAMAS (1) 2009 : 225-232.
4. V. Vassilevska Williams. 토너먼트 수정. AAAI 2010.

TFNP 클래스를 살펴보십시오 . 중간 상태의 검색 문제가 많이 있습니다.

유도 된 하위 그래프 동 형사상 문제는 P가 NP와 같지 않다고 가정 할 때 NP 불완전한 "왼쪽 제한"이 있습니다. Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer : 유도 하위 그래프 동형의 복잡성 이해 , ICALP 2008을 참조하십시오.

$NP$$NP$

최소 이분법 문제 : 교차 모서리 수가 최소화되도록 노드 세트를 동일한 크기의 두 부분으로 분할하십시오.

Karpinski, 최소 이분법 문제의 근사 성 : 알고리즘 도전

일정한 수의 물체 길이를 가진 절삭 스톡 문제. 자세한 내용은이 토론 을 참조하십시오.

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JA Gallian. 그래프 라벨링에 대한 역동적 인 조사. 전자 조합 저널, 2009.
2. DS 존슨. NP- 완전성 열 : 지속적인 가이드. J. Algorithms, 4 (1) : 87–100, 1983.
3. DS 존슨. NP- 완전성 열. 알고리즘에 대한 ACM 거래, 1 (1) : 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Garey와 Johnson은 그들의 "컴퓨터와 다루기 힘든"컴퓨터에서 다음과 같이 말합니다 (158-159 페이지).

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

다음의 문제는 NP- 중간 인 것으로 여겨진다. 즉, NP에 있지만 P 나 NP- 완전에는 없다.

지수 다항식 근본 문제 (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

자세한 내용은 내 질문과 관련 토론을 참조하십시오 .

Thinh D. Nguyen의 답변에서 제안 된 가중 하이퍼 그래프 동 형사상 문제가 단순히 GI 완료라고 표시 될 수 없는지 잘 모르겠습니다. 그러나 GI와 밀접한 관련이있는 GI-hard 문제는 아직 GI로 축소되지 않았습니다. 즉, 문자열 동형 문제 ( color isomorphism problem )입니다. 이것은 실제로 László Babai가 준 다항식 시간에 보여준 문제입니다. (순열) 그룹 이론의 여러 결정 문제와 동일하기 때문에 독립적으로 관심이 있습니다.

• 코셋 교차로 문제
• 이중 코 세트 멤버십 테스트 문제
• 집단 분해 문제

FP에 있거나 NP-hard로 알려지지 않은 문제는 Steiner 정점이 120 °의 각도로 교차하는 두 개의 직선 세그먼트에 떨어질 것이라고 약속 할 때 최소 Steiner 트리를 찾는 문제입니다. 선분 사이의 각도가 120 °보다 작 으면 문제는 NP-hard입니다. 각도가 120 °보다 크면 FP에 문제가 있다고 추측됩니다.

따라서 다음 의사 결정 문제는 현재 중간 정도의 복잡성으로 보입니다.

$q$
$q$

물론 이것은 실제로 P에 있거나 NP- 완전한 것일 수 있지만 중간 문제 대신 120 °에서 흥미로운 이분법을 갖는 것 같습니다. (추측도 틀릴 수 있습니다.)

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, 곡선에 구속 된 터미널 용 Steiner Trees , SIAM J. Discrete Math. 1997 년 1 월 1 일 ~ 17 일 10 일. doi : 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$