단색 사각형이없는 그리드

업데이트 : 모든 단색 사각형 직사각형이없는 4 색에 대한 장애물 세트 (즉, 채색 및 비 채색 격자 크기 사이의 NxM "배리어")가 알려져 있습니다.

누구나 5 가지 색상을 사용하려고 생각하십니까? ;)

다음 질문은 Ramsey Theory에서 발생합니다 .

고려 의 -coloring N -by- m의 격자 그래프. A 는 사각형의 모서리와 같은 색을 가진 4 개의 셀이 배열 될 때마다 존재합니다. 예를 들어, ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 그리고 ( 1 , 0 ) 은 동일한 색상을 가지고있는 경우 단색의 사각형을 이룬다. 마찬가지로 ( 2 , 2 ) , ( 2 , 6 ) $k$$n$$m$monochromatic rectangle$(0,0), (0,1), (1,1),$$(1,0)$ 및 ( 3 , 2 ) 와 동일한 색상으로 착색하는 경우, 단색 사각형을 이룬다.$(2,2), (2,6), (3,6),$$(3,2)$

질문 :합니까는 존재 의 -coloring 17 -by- 17 단색 사각형을 포함하지 않는 그리드 그래프를? 그렇다면 명시적인 채색을 제공하십시오.$4$$17$$17$

몇 가지 알려진 사실 :

• -by- 17 인 4 단색 사각형 -colorable 않고 있지만, 종래 방식은 착색을 연장 나타나지 17 -by- 17 케이스. ( 17 x 17 을 결정하기위한 붉은 청어 일 가능성이 높기 때문에알려진 16 x 17 색소를생략합니다.) $16$$17$ $4$$17$$17$$16$$17$$17$$17$
• -by- 19 인NOT 4 단색 사각형없이 -colorable. $18$$19$ $4$
• x 18 및 18 x 18 도 알려지지 않은 경우입니다. 이것들에 대한 답도 흥미로울 것입니다. $17$$18$$18$$18$

면책 조항 : Bill Gasarch 는 이 질문 에 대한 긍정적 인 답변 에 $ 289 (USD) 현상금을 가지고 있습니다 . 당신은 그의 블로그를 통해 그에게 연락 할 수 있습니다. 에티켓에 대한 참고 사항 : 나는 그가 정답의 출처를 알아야합니다.

그는 Barriers II의 엉덩이 회의에서 다시 제기했으며 흥미로 웠습니다. 그의 질문없이 (그의 지식 없이도 그는 의심 할 것입니다.)

여러분 중 일부는이 사실을 알고 있을지 모르지만 Bernd Steinbach와 Christian Posthoff 가 17 x 17 색상 문제를 해결 했습니다. Gasarch의 블로그 게시물을 참조 하십시오 .

이것은 실제로 질문에 대한 대답은 아니지만 17x17 4 색 문제를 4-CNF (SAT 솔버의 표준 DIMACS 형식)로 인코딩하고 여기에 업로드했습니다 . 누구나 훌륭한 SAT 솔버 (및 슈퍼 컴퓨터)에 액세스 할 수 있다면 우리는 약간의 발전을 이룰 수 있습니다.

$(i,j)$$c \in \{0,1,2,3\}$$(17i+j+289c+1)$$1$$0$

이것은 실제 답변이 아닙니다. 확실히 여기서 문제는 최고의 수퍼 컴퓨터에서 최고의 SAT 솔버를 속이는 천문학적 수의 대칭이 존재한다는 것입니다. 이러한 대칭은 솔루션에 솔루션을, 솔루션을 비 솔루션에 매핑합니다. 적절한 대칭을 적용합니다. 따라서 솔버는 이러한 거의 모든 솔루션을 시도하는 데 많은 시간을 낭비하지만 어떤 의미에서는 모두 동일합니다.

이 어려운 17x17 인스턴스를 공격하고 일부 진전을 이루기 위해서는 익스플로잇 대칭 ( 이 백서 참조 )을 탐색해야합니다. 누군가 이미 그렇게했는지 궁금합니다.

다시 한번, 실제 대답은 아니지만 어쨌든이 문제에 대한 그래프 채색 알고리즘을 채택하는 것에 대한 몇 가지 생각이 있습니다.

$I$$I$

1. $n$$m$$k$
2. $n$$m$$k$
3. $n$$m$$k$

$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$$k^{mn}$$2^{289}$

모든 (최대) 독립 세트의 패밀리가 충분히 훌륭한 구조를 갖는 경우, 커버링 제품 알고리즘을 미세 조정할 수도 있습니다.

21x12 그리드는 단색 사각형 없이도 4 색입니다.

참조 Gasarch의 블로그에 지난 베른트 슈타인 바흐의 게시물을 !

빌 부리스입니다. 안녕 댄 Ramsey 's Theory에 따라 4 색이없는 적합한 17x17 매트릭스를 검색하는 프로그램을 작성 중입니다. 나는 점 사이의 모든 연결을 묘사하는 위치 행렬을 사용하고 주 대각선을 고정하고 행렬의 맨 위 행이 가능한 모든 16choose8 조합을 통과하도록합니다. 다음 기준에 따라 통과하는 행렬 만 캡처합니다 ... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB 등. 다음을 사용하여 행렬을 스윕합니다. 컴퓨터가 자동으로 채색을 채울 때까지 총 32 개의 스윕에 대해 가장 약한 기준 ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB 등. 총 12780 개 중 400 개 매트릭스 당 가능한 후보가 있으며 후보를 찾는 데 .95 시간이 걸리거나 8 개당 1 개가 있다는 것을 알았습니다. 644 초 함께오고 있지만 풀 타임으로 일하면서 프로그래밍 할 시간이 없습니다. 우리는 함께 일해야한다… 나는 $ 289.00를 사용할 수있다!