DFA에서 크기가

문제는 간단하고 직접적입니다. 고정 , 크기 (즉, 상태) 의 DFA에서 몇 개의 (다른) 언어를 사용할 수 있습니까? 나는 이것을 공식적으로 진술 할 것이다 : $n$ $n$ $n$

DFA를 로 정의하십시오. 여기서 모든 것이 평소와 같으며 는 (부분적으로) 함수입니다. 때로는 총 함수 만 유효한 것으로 간주되므로이를 설정해야합니다. $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

모든 에 대해 모든 DFA 세트 에서 (등가) 관계 을 다음 과 같이 정의하십시오 . if 및 . $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

문제는 다음과 같습니다. 주어진 에 대해 의 인덱스는 무엇 입니까? 즉, 세트의 크기는 얼마입니까? . $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

가 총 함수 인 경우에도 쉬운 카운트는 아닙니다 (적어도 나를 위해). 그래프가 연결되지 않았을 수 있으며 초기 상태를 포함하는 연결된 컴포넌트의 상태가 모두 승인 될 수 있으므로 예를 들어 크기 수락하는 많은 그래프가 있습니다 . 빈 언어 및 최소 DFA가 개 미만의 상태 인 다른 언어에 대한 다른 간단한 조합과 동일 합니다. $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(순진한) 재귀도 작동하지 않는 것 같습니다. 크기가 DFA를 가져 와서 새로운 상태를 추가하는 경우 결정 성을 유지하고 새 그래프를 연결하려면 (사소한 경우를 피하기 위해) 새 상태를 연결하기 위해 전환을 제거해야하지만 이 경우 원래 언어를 잃을 수 있습니다. $k$

이견있는 사람?

노트. 나는 공식적인 진술과 이전 산만 요소없이 질문을 다시 업데이트했습니다.

— 야 노마
소스

간단히 말해 : "

상태를 사용하여 정의 할 수있는 언어는 몇 개입니까?"를 의미합니다. 여기서

상태를 허용 하는 DFA가있는 경우

상태를 사용하여 언어가 정의 됩니다. 또한 정규 표현식의 경우 정규식 "a * aaaaaa"에는 반드시 1 개 이상의 연결이 있지만 DFA에는 하나의 상태 만 필요합니다 (별도의 싱크가 필요한 경우 2 개).

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen

사과 : 정규식 예제의 경우 "a a a a a *" 여야합니다 .

— Evgenij Thorstensen

의 정의는 개념이 일반적으로 별이없는 언어에 적용된다는 점을 제외하고는 "점 깊이"개념과 매우 관련이있는 것으로 보입니다 (@Evgenij Thorstensen이 설명한 이유로).

c (r)

$c(r)$

— mhum

사소한 관찰 :

상태는 적어도

다른 언어 를 정의하는 데 사용될 수 있습니다 .

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Evgenij Thorstensen

조금 더 얻을 수 있으므로

은 괜찮습니다. 그러나 n- 상태 오토마타의 수는 약

(

가정 ). 우리는받을 수

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Kaveh

이 질문은 이전에 연구되었다고 생각합니다. Mike Domaratzki는이 분야의 연구에 대한 설문을 썼습니다 : "정규 언어의 계산", Bull. EATCS, vol. 89 (2006 년 6 월), 113-133 : http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— 헤르만 그루버
소스

g_{k} (n)

$g_k(n)$

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$