일반화 된 라드 너의 정리

Ladner Theorem 은 P ≠ NP이면 P를 엄격하게 포함하고 NP에 엄격하게 포함 된 복잡성 클래스 의 무한한 계층 구조가 있다고 말합니다 . 이 증거는 NP가 한 번 감소하면 SAT의 완전성을 사용합니다. 계층 구조에는 일종의 대각 화로 구성된 복잡성 클래스가 포함되어 있으며 각 클래스에는 하위 클래스의 언어가 여러 개가 될 수없는 언어가 포함되어 있습니다.

이것은 내 질문에 동기를 부여합니다.

C를 복잡도 클래스로 지정하고 D를 C를 엄격하게 포함하는 복잡도 클래스로 설정합니다. D에 축소 개념이 완전한 언어가 포함 된 경우 C와 D 사이에는 절감?

보다 구체적으로, 적절한 감소 개념에 대해 D = P 및 C = LOGCFL 또는 C = NC 에 대해 알려진 결과가 있는지 알고 싶습니다 .

Kaveh가 답에서 지적한 것처럼 Ladner의 논문에는 이미 공간이 제한된 클래스 C에 대한 정리 7이 포함되어 있습니다. NL ≠ NP 인 경우 NL과 NP 사이에 경도가 엄격하게 증가하는 무한한 언어 시퀀스가 ​​있습니다. 이것은 P ≠ NP에 조건부 인 일반 버전 (Theorem 1)보다 약간 더 일반적입니다. 그러나 Ladner의 논문은 D = NP 만 고려합니다.

이 백서에서 입증 된대로 로그 스페이스 축소 및 언급 한 클래스를 포함하여 다양한 클래스 및 축소에 대한 질문에 대한 대답은 "예"입니다.

H. Vollmer. 갭 언어 기술이 다시 방문했다 . 컴퓨터 과학 논리, 컴퓨터 과학 Vol. 533, 389-399, 1990 쪽.

K. Regan과 H. Vollmer. 갭 언어 및 로그 타임 복잡성 클래스 . 이론 컴퓨터 과학, 188 (1-2) : 101-116, 1997.

(이 논문의 gzip 압축 포스트 스크립트 파일은 여기에서 다운로드 할 수 있습니다 .)

증명은 Uwe Schöning의 Ladner 정리 확장의 기본 원칙을 따릅니다.

우웨 쇼닝. 복잡성 클래스에서 대각선 세트를 얻기위한 균일 한 접근 방식 . 이론적 컴퓨터 과학 18 (1) : 95-103, 1982.

Schöning의 증거는 항상 Ladner의 정리에 대한 가장 좋아하는 증거였습니다. 단순하고 일반적입니다.

일반적인 설정에서이 작업을 수행 할 가능성이 큽니다. 거의 확실하게 그러한 결과 는 이미 일반적인 환경에서 입증되었지만 참조는 현재 나를 피합니다. 여기에 처음부터 논쟁이 있습니다.

에서의 작성자 http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf는 라드의 정리의 두 가지 증거가있다. Russell Impagliazzo의 두 번째 증명은 { x 01 f ( | x | ) } 형식 의 언어 을 생성합니다. 여기서 x 는 만족스러운 수식을 인코딩하고 f 는 특정 다항식 시간 계산 함수입니다. 즉, 적절한 수의 1로 SAT를 채우면 "NP- 중간"세트를 얻을 수 있습니다. 패딩은 가능한 모든 다항식 시간 감소에 대해 "대각선 화"를 수행하여 SAT에서 L 1로 다항식 시간이 감소하지 않습니다.$L_1$$x01^{f(|x|)}$$x$$f$$1$$L_1$작동합니다 ( 가정 ). 경도가 무한히 높다는 것을 증명하기 위해 위의 인수에서 SAT 대신 L 1 을 대체 하고 L 2 = { x 0 1 f ( | x | ) | x ∈ L 1 }. 함께 반복 L I = { X 0 1 F ( | X | ) | X ∈ L의 I $P \neq NP$$L_1$$L_2 =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$$L_i =$ }.$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

그러한 증거는 클래스 와 D 로 일반화 될 수있는 것으로 보입니다 . 여기서 (1) C 가 D에 올바르게 포함되어 있고 (2) D 는 C 감소에서 완전한 언어를 가지고 있습니다 . (3) 모든 C 감소 목록 는 재귀 적으로 열거 될 수 있고, (4) 함수 f 는 C 에서 계산 가능하다 . 아마도 가장 걱정스러운 요구 사항은 마지막 요구 사항 일 수 있지만 링크에서 f 의 정의를 보면 가장 합리적인 클래스 C에 대해 계산하기가 매우 쉽습니다 .$C$$D$$C$$D$$D$$C$$C$$f$$C$$f$$C$

나는 대답이 및 균일 한 버전의 N C에 긍정적이라고 생각합니다 . Ladner의 증거는 귀하가 말한 것과 다른 작은 클래스가 재귀 적으로 표현되고 사소한 수정으로 작동해야한다는 사실을 많이 사용하지 않지만 세부 사항을 확인하지 않았으므로 Lance의 글을 참조하십시오 .$C=L$$NC$

최신 정보

다항식 시간 감소의 구조에 관한 Ladner의 논문 확인

초록은 다음과 같습니다. 및 ≤ P m으로 표시되는 다항식 시간 감소 성의 두 가지 개념은 각각 Cook 및 Karp에 의해 정의되었습니다. 계산 가능한 집합 영역에서이 두 관계의 추상 속성을 조사합니다. 두 관계는 밀도가 높고 최소 쌍을 갖는 것으로 입증되었습니다. 또한, 서열에 대한 최소 한도의 상한을 갖는 엄격하게 상승하는 서열이 존재한다. 밀도를 보여주는 우리의 방법은 P ≠ N P 이면 다항식이 아닌 N P - P의 멤버가 있다는 결과를 산출합니다 .$\leq_T^P$$\leq_m^P$$P \neq NP$$NP - P$

이론 1. B가 계산 가능하고 가 아닌 계산 가능 하면 A ∉ P , A ≤ P m B 및 B ≰ P T A 와 같은 계산 가능 A 가 있습니다 .$P$$A$$A \not \in P$$A \leq_m^P B$$B \not \leq_T^P A$

일반화에 대해 설명하는 6 절도 참조하십시오.

이론 5. 가 시간 등급 인 경우 ≤ C m 및 ≤ C T 는 반사적이고 전 이적 관계이며 정리 1-4는 P 가 C 로 대체 된 상태를 유지 합니다.$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

이론 7. 가 공간 클래스 인 경우 ≤ C m 및 ≤ C T 는 반사적이고 전 이적 관계이며 정리 1-4는 P 가 C 로 대체 된 상태를 유지 합니다.$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

시간 등급 과 공간 등급 이라는 용어 는 논문에 정의되어 있습니다.

나는 Mathoverflow의 Peter Shor와 비슷한 질문을 했습니다 . 그에 따르면, 그는 그러한 결과를 알지 못한다.

또한 Ryan Williams는 Ladner의 정리에 대해 재미있는 것을 말했지만 링크를 찾을 수 없습니다. "Ladner 정리의 증명은 NP- 완전 문제의 머리와 몸통을 잡고 다항식 시간 알고리즘의 팔과 다리를 꿰는 좀비와 같은 절차입니다." 가정하여 NP- 중급 언어를 정의하는 것은 부 자연스러운 방법 입니다.$NP\neq P$

$A$$\sum_i^p$$B \in \sum_{i-1}^p$$B$

또 다른 흥미로운 문제는 promiseBPP, promiseMA 등과 같은 시맨틱 클래스의 약속 버전으로 Ladner를 일반화하는 것을 고려하는 것입니다.