한 쌍의 가시성을 가진 아트 갤러리 변형?

전통적인 미술관 문제 는 지역을 설정하고 가시성에 대한 개념을 가지고 있으며, 전체 지역을보기 위해 배치해야하는 최소한의 경비원을 요구합니다.

가시 영역이 대신 가드 쌍 으로 정의되는 아트 갤러리 변형을 본 사람이 있습니까 ? 예를 들어, 최소 경계 디스크가 그것을 보호하는 한 쌍의 가드가있는 경우 점을 덮는 것이 하나의 공식 일 수 있습니다.

reference-request cg.comp-geom

custodiet ipsos custodes를 종료 하시겠습니까?

— Artem Kaznatcheev

@Artem의 질문에 대답하기 위해 Connected Guards 라는 개념 이 있으며 두 가지 변형이 있습니다. 송출 가시성 그래프 경비원이 서로를 볼 수있는 경우 각각의 가드 정점, 두 꼭지점 사이의 모서리로 정의 될 수있다. 가시성 그래프가 연결되면 모든 가드가 보호됩니다 ( "가드 가드 세트"라고도 함). 더 강한 조건은 가시성 그래프에 연결된 단일 구성 요소가 있다는 것입니다. 그런 다음 연결된 가드 세트가 있습니다. 그렇습니다. 여기에는 상당한 양의 작업이 있습니다. 나는 심지어 한 종이에 대해 블로그에 올렸습니다.

— Aaron Sterling

으악, 위의 읽을해야 "가시성 그래프가 더 정점을 격리 한 경우, 모든 경비는 ... 지키고있다"

— 아론 스털링

"가드를 지키는 사람"? 내 라틴어는 돼지입니다 :)

— Suresh Venkat

내 공식에서는 유도 가시성 그래프를 연결할 필요가 없습니다. 이것은 축 평행 사각형에는 문제가되지 않지만 실제로는 타원형 영역처럼 좋지 않은 영역에는 문제가 될 수 있습니다. 그러나 연결된 가드 포인터는 좋은 것입니다. 아마도 내 문제의 일부 변형이 그런 식으로 해결할 수 있다고 생각합니다.

— Suresh Venkat

답변:

나는 그런 일을 알지 못한다. 그러나 이러한 문제는 NP가 완료되고 구멍이있는 다각형의 경우 덮개 설정만큼 근사치가되기를 기대합니다. 가드가 꼭짓점에만 놓일 수 있고 꼭짓점 만 보호해야하는 비교적 간단한 정점 / 정점 보호 문제는 어렵습니다 ( Eidenbenz, Stamm, Widmayer (2001) ).

간단한 다각형의 경우 다음과 같은 문제가 예상됩니다.

NP- 완료
APX- 하드
대략 이내 에서 opt는 최적의 가드 수입니다. $O(\log(\rm{opt}))$

정점 / 정점 보호 문제는 단순한 다각형의 경우 APX-hard입니다 ( Eidenbenz (1998) ).

간단한 다각형에 대한 아트 갤러리 문제에 가장 적합한 알고리즘은 작은 net 구축에 기반합니다 . 단순한 다각형에서 가시성 다각형에 의해 유도 된 범위 공간은 일정한 VC 치수를 갖습니다. 서클도 마찬가지입니다. 따라서 간단한 다각형, 원 및 그 교차점과 결합에서 가시성 다각형으로 유도 된 범위 공간은 일정한 VC 치수를 가지며 근사 알고리즘을 얻을 수 있습니다 . $\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

나는이 문제에 대해 논문에 대해 조금 생각했지만, 단일 보호와 관련된 알려진 문제에 상당히 가깝게 줄어드는 것으로 보이지 않는 특히 흥미로운 변형이 없다는 의견에 도달했습니다.

— 제임스 킹
소스

오히려이 질문에 늦었습니다 (죄송합니다!). 최소한 약간의 작업이 있습니다.

(1)이 논문은 "아트 갤러리에서 최적의 이중 커버리지"인 Scott Dalane, Andrew Frampton, 2008, PDF 링크의 저학 (Swarthmore) 연구 논문으로 보인다 . 그들의 결론에서 :

$\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

— 조셉 오루크
소스

그래서 나는 이것에 대해 생각했습니다. 이중 적용 범위와 내 문제의 주요 차이점은이 "연결성"문제가 있다는 것입니다. 즉, 두 가드의 가시 영역이 서로 "보이지"않는 한 활성화되지 않습니다. 서로 보이지 않는 가드로 영역을 두 번 덮을 수있는 예제를 쉽게 만들 수 있습니다. 이제 연결된 가드 문제도 살펴 보았지만 여기에 다시 적용되지 않는 다른 컨텍스트에서 가드 가시성 그래프가 연결되어 있어야하며 필요하지 않습니다.

— Suresh Venkat

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좀 빠지는. 순수한 가시성이 아닙니다. 한 쌍의 보호대는 "가시성 영역"을 정의하고 보호대의 가시성 영역에있는 경우 점이 적용됩니다. 사실 서로를 볼 수없는 경비원 들이나 전통적인 "시선"감각의 지점이 그 지점을 "덮는"것이 가능합니다.

— Suresh Venkat

설명해 주셔서 감사합니다. 이 모델은 내가 아는 것과는 다르게 보입니다.

— Joseph O'Rourke