P-hard 이외의 P 외부 문제

Peter Shor 의 답변 과 Adam Crume 의 이전 질문을 읽는 동안 나는 $\mathsf{P}$ hard의 의미에 대해 약간의 오해가 있음을 깨달았습니다 .

문제는 $\mathsf{P}$ 어떤 문제가있는 경우 -hard $\mathsf{P}$ 와 그것에 환원이다 $\mathsf{L}$ (또는 당신이 선호하는 경우 $\mathsf{NC}$ ) 감소. 다항식 시간 알고리즘이 없으면 문제가 외부에 $\mathsf{P}$ 있습니다. 이것은 외부에 $\mathsf{P}$ 있지만 $\mathsf{P}$ 하드 가 아닌 문제가 있어야 함을 의미합니다 . FACTORING이 외부에 있다고 가정하면 $\mathsf{P}$ Peter Shor의 대답은 FACTORING이 문제가 될 수 있음을 시사합니다.

외부에 $\mathsf{P}$ 있지만 $\mathsf{P}$ hard가 아닌 것으로 알려진 알려진 문제 (자연적 또는 인공적)가 있습니까? 인수 분해 가정보다 약한 가정에서는 어떻습니까? 이 복잡성 클래스의 이름이 있습니까?

cc.complexity-theory complexity-classes

— 아르 템 카즈 나체 예프
소스

답변:

경우 $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ 후 아니 성긴 세트 (심지어 비 계산 가능한 하나) 일 수 $\mathsf{P\text{-}hard}$ .

오해는 복잡성 클래스 (및 계산 문제)를 선형 순서를 만드는 것으로 생각하는 것에서 비롯됩니다. 문제에 "경도"라는 단어를 사용하면 학급의 다른 문제를 해결하는 데 사용될 수 있으며 오해에도 기여할 수 있습니다. 문제에 대한 하한 (즉, 복잡성 클래스에 있지 않음)은 문제가 클래스에 어렵다는 것을 암시하지 않습니다 (즉, 클래스의 다른 문제를 해결하는 데 사용될 수 있음). 현재 사용중인 "경도"에 대한 더 나은 대체 용어가 있는지 모르겠지만, 지난 수십 년 동안 사용 된 용어는 "유니버시티"(IMHO, 개념을보다 충실하게 표현한 다음 사용할 수 있음)입니다. 수업에 참여하지 않은 "단단함"이지만 기존 용어를 변경하는 것은 매우 어렵습니다.

— 카베
소스

복잡성 클래스에서 본 오일러 다이어그램 중 일부는 저에게 두 번째 오해를 가져 왔습니다. 이것이 X- 경도에 대한 혼란을 초래 한 것으로 생각됩니다.

— Artem Kaznatcheev

@Artem도 그렇습니다. 여기에 내가 수업 시간에 할 것입니다 : 나는의 incomparability 언급 와 아래에 감축이 학생들이 모든 것이 선형 주문한 생각을 피할 도움이 될 것으로 기대.

\mod p

$\mod p$

\mod q

$\mod q$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

총 주문 부분에 대한 문제가 훨씬 적습니다. 특히 NP와 coNP는 전체 순서를 갖는 복잡성 클래스를 생각해서는 안된다는 것을 보여주기에 충분하다고 생각합니다.

— Artem Kaznatcheev

@Artem, 좋은 지적 (우리는 그들이 다르다는 것을 증명할 수는 없지만). 용어의 이유 중 일부는 합리적인 하한이없고 SAT에 대한 좋은 하한이 없지만 보편적이기 때문에 해결하기 어렵다고 생각하지만 "범용"이라는 단어는 그렇지 않습니다 "전문가"가 아닌 "열심히"하는 것과 같은 어려움을 느끼십시오. 그러나 그것은 문제의 보편성이 문제를 해결하기 어렵다는 것을 암시 할 수 있지만 문제를 해결하기 어렵다는 것이 문제가 보편적이라는 것을 의미하지 않기 때문에 문제를 일으킨다.

— Kaveh September

즉, 보편적 문제는 어렵지만 (적어도 클래스의 어떤 문제만큼 어렵다) 어려운 문제가 보편적 일 필요는 없다.

— Kaveh September

난 당신이하지에서 세트 구성 할 수 있다고 생각 되지 래드 너 스타일의 인수로 -hard을. 구체적인 예는 다음과 같습니다. $P$ $P$

Schöning은 그의 논문 "복잡성 클래스에서 대각선 세트를 얻기위한 균일 한 접근법"(The Comp. Sci. 18, 1982)에서 다음과 같이 증명합니다.

정리 , , 및 가 재귀 적으로 표현할 수있는 복잡성 클래스이고 유한 변형으로 닫혀 있다고 가정 합니다. 그런 다음 세트있다 하도록 , 경우, 그리고 및 사소한 (빈 세트 또는 모든 문자열)이 아닌 다음 에 polytime 많은 하나의 환원이다 . $A_1 \notin C_1$ $A_2 \notin C_2$ $C_1$ $C_2$ $A$ $A \notin C_1$ $A \notin C_2$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $A_2$

이를 적용하려면 설정 빈 세트를 수하고, 될 polytime 감소에서 - 완전한를 설정 세트 수 에 -hard 세트 설정, . 빈 세트는 할 수 없다 (의 정의 -hard 언어는 언어의 적어도 하나의 예를 하나 개의 인스턴스가 아닌 거기 것을 요구에 대한 - 경도를). 는 확실히 없습니다 . 과 Schoening가에 대해 수행하는 것과 유사하게 위의 조건 (충족 확인할 수 있습니다 $A_1$ $A_2$ $EXP$ $C_1$ $P$ $EXP$ $C_2 = P$ $P$ $P$ $A_2$ $C_2$ $C_1$ $C_2$ $NP$ -완전한 세트; 이 관련 질문 도 참조하십시오 ). 우리는 얻을 그래서 하지 않은 것입니다 에서 -hard 문제 , 그 아닌 . 때문에 그러나 및 간단한 일은 에 환원 많은 하나입니다 가있는, 그래서 - 완전한 세트 . 따라서 특히 는 hard 일 수 없습니다 . $A$ $P$ $EXP$ $A$ $P$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $EXP$ $EXP$ $A$ $P$

상기 인수로 제한 에 -hard 문제 전체적으로 P-어려운 문제이기 때문에, 재귀 presentability을 보장 할 필요가 없는 재귀 볼품 심지어 가산하지 . 자, 이것의 "자연스러운"예는 다른 이야기입니다 ... $P$ $EXP$

— 라이언 윌리엄스
소스

나는 경우에도 이것이 어떻게 진행되는지 좋아합니다 . 내가 잘못 이해하지 않는 한.

L = P

$L = P$

— Artem Kaznatcheev

@Artem : 로그 공간 감소에서 경도를 고려한다면 모든 사소한 언어는 L-hard입니다. 따라서 L = P 인 경우 P 이외의 언어는 로그 공간 중복성이있는 P-hard가 아닙니다.

— 이토 쓰요시

P 외부에서는 아니지만 P-hard 이외의 문제를 생성하는 또 다른 방법은 P와 비교할 수없는 클래스에 대해 완전한 문제를 해결하는 것입니다. 클래스 X는 다른 클래스의 하위 집합이 아니라는 점에서 P와 비교할 수 없습니다. 그런 다음 X- 완전 문제는 반드시 P 외부에 있어야하며 (그렇지 않으면 P는 X를 포함) P-hard가 아닙니다 (그렇지 않으면 X는 P를 포함).

P와 비교할 수없는 일부 클래스를 생각했지만 P는 매우 강력한 클래스이므로 너무 많은 클래스는 없습니다. 예를 들어, RNC 및 QNC는 P와 비교할 수 없습니다. DSPACE ( )도 P와 비교할 수 없습니다. PolyL은 P와 비교할 수 없지만 로그 공간 축소에서 완전한 문제는 없습니다. $\log^2$

— 로빈 코타 리
소스

제 생각에 이것은 거의 다르게 표현 된 것과 같은 질문이며 반드시 질문에 대답하는 방법은 아닙니다. 실제로, A로 환원 가능한 언어의 클래스가 P와 비교할 수없는 경우에만 언어 A는 P 또는 P-hard로되어 있지 않습니다 (가장 선호하는 환원성 개념을 취하십시오). 현재의 질문에 관한 한, 나는 그것이 반대 방향으로 유용 할 것이라고 생각한다. 즉, 이것은 현재 질문에 대한 답변을 해석하는 또 다른 방법입니다.

— Ito Tsuyoshi