술에 취한 새 대 술에 취한 개미 : 2 차원과 3 차원 사이의 무작위 산책

2 차원 그리드에서 임의의 보행은 확률이 1 인 원점으로 돌아 간다는 것이 잘 알려져 있습니다. 또한 3 차원에서 동일한 임의의 보행은 원점으로 돌아 오는 확률이 1보다 작습니다 .

내 질문은 :

사이에 무언가가 있습니까? 예를 들어, 내 공간이 실제로 z 방향으로 무한대로 돌출 된 평면의 경계 영역이라고 가정합니다. (종종 2.5 차원이라고 함). 2 차원 결과가 적용됩니까, 아니면 3 차원입니까?

이것은 토론에서 나타 났으며, 2 차원 적으로 행동한다는 휴리스틱 논쟁은 평면의 유한 한 영역이 결국 덮일 것이기 때문에 보행의 유일한 중요하지 않은 부분은 z 방향을 따르는 1 차원 광선이라는 것입니다. 근원에 일어날 것이다.

2 차원과 3 차원 사이에 보간되는 다른 모양이 있습니까?

업데이트 (의견에서 풀려 남) : MO에 관한 관련 질문이 있습니다 -짧은 요약은 보행이 (2 + ϵ) 차원이면 불확실한 복귀가 발산 시리즈에서 느슨하게 이어진다는 것입니다. 그러나 위의 질문은 특정 반환을 허용 할 수있는 다른 종류의 모양을 요구하기 때문에 IMO와 약간 다릅니다.

Peres와 Lyons의 트리 및 네트워크에서의 가능성은 2 장 (50 페이지)에서이를 언급합니다.

이를 이해하는 한 가지 방법은 와 사이의 중간 공간 유형에 대해 묻는 것 입니다. 예를 들어, 웨지를 고려하십시오Z$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

여기서 은 증가하는 기능입니다. 를 떠나는 모서리 수 은 순서 이므로 Nash-Williams Crierion에 따라$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

재발에 충분합니다.

3x3x3 공간의 3D 랜덤 보행 (루빅스 큐브와 같은)은 보행이 외부에서 시작되는 경우 원점으로 돌아갈 확률이 1보다 작습니다. 그러나 2x2x2 공간의 크기는 1이고, 원점이 중심에있는 3x3x3 공간입니다. 따라서 중간 모양이 있지만 그다지 많지 않은 것 같습니다.