최소 만족할 수없는 3-CNF 공식

나는 현재 만족스럽지 않고 최소 크기 인 3-CNF 공식을 얻고 (또는 구성) 연구하는 데 관심이 있습니다. 즉, 가능한 한 적은 절 (m = 8)과 가능한 한 적은 고유 변수 (n = 4 이상)로 구성되어야합니다. 따라서 하나 이상의 절을 제거하면 수식을 만족시킬 수 있습니다.

보다 공식적으로, 적격 3-CNF 공식 F는 다음 조건을 충족해야합니다.

F는 만족스럽지 않다
F는 별개의 변수 (또는 그들의 부정)의 최소량 (4+)을 가짐
F는 최소 절 수를 가지고 있습니다 (8+)
F의 모든 적절한 부분 집합은 만족할 수 있습니다 (임의의 절을 제거 할 수 있음).
F는 2-CNF 조항으로 환원 될 수있는 2 개의 조항 (i, j, k) & (i, j, ~k)이 없습니다. 예를 들어 허용되지 않습니다 (로 줄임 (i,j))

예를 들어, n = 4 인 경우, 만족할 수없는 많은 최소 8 절 3-CNF 공식이 존재합니다. 예를 들어, 4- 하이퍼 큐브를보고 가장자리 (2면)로 덮으려고하면 다음과 같은 만족할 수없는 공식을 만들 수 있습니다.

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

이는 다음과 같은 이유로 만족할 수없는 최소 3-CNF 공식으로 간주됩니다.

만족스럽지 않습니다 :
- 1-3 항은 다음과 같습니다. D or A=B=C
- 4-6 항은 다음과 같습니다. ~D or A=B=C
- 그것들은 암시 A=B=C하지만, 7과 8 절에 따르면 이것은 모순이다.
변수는 4 개뿐입니다.
8 개의 절만 있습니다.
절을 제거하면 만족할 수 있습니다.
2 절은 2-CNF 절로 '환원'할 수 없습니다.

그래서 나는 여기에 내 전반적인 질문이 중요하다고 생각합니다.

위의 조건을 충족시키는 다른 작은 최소 공식은 무엇입니까? (즉, 4,5,6 변수 및 8,9,10 절)
그러한 최소한의 공식에 대한 일종의 데이터베이스 또는 "아틀라스"가 있습니까?
알고리즘을 완전히 구성하기 위해 어떤 비 랜덤 알고리즘이 있습니까?
이 공식의 특성에 대한 통찰력은 무엇입니까? n (# 변수) 및 m (# 절)을 고려하여 계산하거나 추정 할 수 있습니까?

답장을 보내 주셔서 감사합니다. 답변이나 의견을 환영합니다.

cc.complexity-theory sat

— MAF
소스

각 3-CNF 조항은 가능한 솔루션의 1/8을 허용하지 않습니다. 따라서 허용되지 않는 솔루션 세트가 겹치는 경우 항상 8 개 이상의 조항이 필요합니다. 조건 5는 n = 3에 대해 겹치지 않는 허용되지 않는 솔루션 세트를 금지하므로이 경우에는 8 개 이상의 절이 필요합니다. 예제는 조건 5를 따르지 않습니다.

— András Salamon

네, 당신은 모든 포인트 András에 정확합니다. 만족할 수없는 3-CNF 공식에는 8 개의 절이 필요하므로 조건 5는 적격 공식을 찾거나 구성하는 데 목적에 따라 너무 제한적일 수 있습니다. n = 3의 경우 조건 5를 반드시 위반해야하지만 설명 목적으로 만 포함 된 것입니다. 나는 n = 4 + 크기의 수식을 수식에 관심이 있습니다 (즉, 4 개 이상의 변수이지만 너무 많지는 않습니다). 아마도 내가 조건 5. 흠집 것

— MAF

나는 András가 그의 의견에서 지적한 것처럼 실제로이 질문에서 묻는 것의 예가 아니기 때문에 n = 3 인“예”가 설명이 아닌 혼란 스럽다고 생각합니다. n = 4 인 예는 완벽하고 훌륭합니다. 왜 n = 3 인 예제를 제거하지 않습니까?

— 이토 쓰요시

좋은 지적입니다. 끝난.

— MAF

@MAF : 조건 5를 제거하면 간단한 예가됩니다.

및

절을 포함하는 만족할 수없는 인스턴스로 시작한 다음 각 절

를 두 개의 절

및

로

. 변수

새로 작성 하고 모든 절에 3 개의 리터럴이있을 때까지 계속하십시오. 이렇게하면 8 개의 절이있는 7 개의 가변 만족할 수없는 수식이 생성됩니다. 이것은 솔루션 공간을 8 개의 분리 된 조각으로 자르는 것입니다. 일반적으로 흥미로운 코드는 아닙니다.

{x}

$\{x\}$

{x^{'}}

$\{x'\}$

C

$C$

C \cup {v}

$C \cup \{v\}$

C \cup {v^{'}}

$C \cup \{v'\}$

v

$v$

— 안드라 살 라몬

답변:

예제에서 수식을 가져 와서 절을 제거 하고 다음 절을 추가하십시오 . $\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$ $2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

, 조건 5를 만족하는 최소 만족할 수없는 공식을 얻게됩니다 . $n=5$ $m=9$

일반적으로 절을 임의로 선택하여 절로 나눌 수 있습니다 . $l_1 \lor l_2 \lor l_3$ $2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

여기서 는 새로운 변수입니다. 그렇게 할 때마다 과 이 씩 증가합니다 . 이 과정을 반복하면 만족할 수없는 초기 코어 를 "스트레칭" 하고 인 만족할 수없는 최소 공식 (조건 5 이상)을 얻을 수 있습니다. $v$ $n$ $m$ $1$ $r=\frac{m}{n}$ $1$ $n$ $r=1$

— 조르지오 카메라 니
소스

답변 주셔서 감사합니다, 월터 설명하는 절차는 실제로 '유사한'구조의 훨씬 더 큰 최소 unsat 공식을 생성하는 데 매우 유용합니다.

— MAF

@MAF : 천만에요. 흥미로운 질문을 게시 해 주셔서 감사합니다.

— Giorgio Camerani

조건 번호 5는 실제로 귀하의 예에서 유지되지 않으며 절대로 개최 될 수 없다고 생각합니다.
다음 절을 동일하게하십시오.

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

그러면 A, B, C 및 D의 절을 다음 진리표와 같은 새 변수 p, q, r 및 s에 매핑 할 수 있습니다.

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

이제 A, B, C 및 D의 절을 p, q, r 및 s로 표현할 수 있습니다.

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

모든 절이 표시되고 A, B, C 및 D 절과 연관되기 때문입니다. 그런 다음 p, q, r 및 s 절을 다음과 같이 줄일 수 있다고 주장 할 수 있습니다.

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

내가 분명히 지적하고자하는 것은 2-CNF로 축소 될 수있는 2 개의 절이 있음을 명시 적으로 보여주지는 않지만 암묵적으로 가지고 있다는 것입니다 (예 : (~ A, B, D) 및 (A, ~ B, ~ D))에서 주어진 변수를 사용하여 2-CNF를 표현하지 못할 수도 있지만 문제에 대해 다른 매핑을 도입하면이를 표현할 수 있습니다.

— 카잠 알 함단
소스