특정 유형의 쿼리에 대한 최적의 전처리

S = { s 1 , s 2 , … , s n } 요소를 갖는 세미 그룹 이 있다고 가정 합니다. 우리의 목표는 제품 s i ∘ s i + 1 ∘ ⋯ ∘ s j 를 계산하는 것입니다 .$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

"온라인 제품 쿼리에 응답하기위한 최적의 전처리"논문에서 Alon과 Schieber 는 선형 양만 사용하여 최대 단계 ( α 는 역 Ackermann 함수)로 각 쿼리에 응답 할 수 있음을 증명합니다. 전처리의.$O(\alpha(n))$$\alpha$

각 질의 가 O ( log ( j − i ) ) 단계 로 응답 될 수 있어야한다면 , 선형 전처리만으로도이를 수행 할 수 있습니까?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(이 질문은 영감 이 Mathoverflow에서 브렌단 맥케이 최근 질문입니다.)

$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

$s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$$s_i$$s_j$