set union을 사용한 컨센서스 클러스터링

나는 이미이 질문을 MathOverflow 에 이미 게시 했지만 내 지식을 최대한 활용하기 위해 여전히 열려 있으므로 누군가가 그것에 대해 들었을 것이라는 희망으로 여기에 다시 게시하고 있습니다.

문제 설명

하자 , 및 셋이 분할 수 비어 있지 않은 부분 (붙이고 의, 의 및 세트의 { 'S) }. 를 최소화하는 두 개의 순열 및 를 찾으십시오Q R p P h Q i R j 1 , 2 , … , n π σ p ∑ i = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

질문

1)이 문제 (또는 해당 결정 문제)의 복잡성은 무엇입니까?

2) 문제가 참으로 다항식 시간에 풀 수 있다면, 그것은 어떤 번호를 충실 않는 파티션?$k\geq 4$

이전 작품

Berman, DasGupta, Kao 및 Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 )은 파티션에 대해 비슷한 문제를 연구 하지만 위 의 대신 pairwise 사용 합집합. 그들은 입방 형 그래프의 MAX-CUT을 문제의 특별한 경우로 줄임으로써 각 부품에 요소가 두 개 뿐인 경우에도 대해 문제가 MAX-SNP-hard임을 증명 하고 임의위한 -approximation . 지금까지 나는 문학에서 내 문제를 찾거나 그들의 증거를 조정할 수 없었다.Δ ∪ k = 3 ( 2 − 2 / k ) $k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

쉬운 서브 케이스

다항식 시간에 풀 수있는 것으로 밝혀진 하위 사례는 다음과 같습니다.

• 경우 ;$k=2$
• 임의의 대한 경우 ;$p=2$$k$

또한 일 때 두 부분이 같지 않고 모든 부분의 크기가 이면 하한 (단단한 지 모르겠습니다).2 3 p + $k=3$$2$$3p+1$

문제는 NP-hard입니다. 증거는 다음 문제를 줄임으로써입니다.

삼자 그래프 감안 와 각 부분의 정점있다 의 삼각형 정점 이산 ?N N $G$$N$$N$$G$

여기 감소있다 : 인스턴스 주어진 상기 문제의하자 , , 각 부분의 정점의 집합을 나타내고 및 사이의 에지들의 집합 및 . 또한 각 부분의 꼭짓점에 번호를 매 .A 1 A 2 A 3 G E i j A i A j 1 , … , $G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

M M = 10 | E ( G ) | p = N + 1 | E ( G ) | { 1 , … , n } G P P $n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$$P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

$3|E(G)| - 3N + M$N M 2 M P N + 1 Q N + 1 R N + 1 | E ( G ) | + M 2 | E ( G ) | − 3 N P i Q j P i R k Q j R k N $G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$최대 하나의 (유사입니다 및 , 또한 대한 및 )를. 따라서 이러한 모든 교차점이 동시에 1 일 수 있으면 목적 함수가 최소화됩니다. 이것은 분리 된 삼각형에 해당합니다 .$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$