P 완성 언어의 밀도

이 이상의 유한 문자열로 된 부울 언어 라고 가정하십시오 . 하자 문자열의 숫자 길이 . 기능을 위해 양의 실수의 양의 정수에서, 가지고 상부 밀도 의 경우 모두를위한 충분히 큰 . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

P- 완전 불리언 언어의 밀도가 입니까? $O(1/n)$

자극

PARITY 상부 밀도를 갖는 . YES (모든 유한 이진 문자열의 언어)의 밀도는 1입니다. 유한 언어의 밀도는 모두 0입니다. $1/2$
희소 언어 ㄱ 다항식이 있다는 속성 갖는 등 그 모두 . 경우 성긴 언어 다음 인 다항식에 대한 보다 큰 정도의 하나의 상부 밀도 있도록 제로이다. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai와 D. Sivakumar 는 P = L (= LOGSPACE)이 아니면 P- 완전한 언어가 희박 할 수 없음을 보여주었습니다. P = co-P이므로, 보수가 희소 인 모든 언어는 P = L이 아니면 P- 완료일 수 없습니다.
PRIMES는 단순한 불평등 (예 : Rosser and Schoenfeld 1962 의 Corollary 2 참조)에 의해 더 높은 밀도 갖습니다 . 질문 PRIMES, FACTORING 문제가 P-hard로 알려져 있습니까? PRIMES가 P-hard인지에 대해 설명합니다 (현재 열려있는 것 같습니다). $(\log_2 e)/n$
어떤 의미에서, 복잡성 클래스의 완전한 (또는 보편적 인) 언어는 클래스의 모든 구조를 포함합니다. 따라서 Cai와 Sivakumar의 결과에 대한 야생의 외삽을 기반으로 한 나의 가설은 그러한 언어가 너무 희박 할 수 없다는 것입니다. 희소 언어를 정의하는 일반적인 다항식 바운드는 너무 제한적인 것처럼 보이므로 조금 덜 제한적인 바운드에 대해 묻습니다.

에 작업 낮음 Fortnow, Hemaspaandra, 그리고 다른 사람은 아마도 관련이있다.

P 이외의 클래스에 대한 질문을 할 수는 있지만 -SAT의 밀도를 설정할 수있는 결과는 회상 할 수 없습니다 . 관련 문헌에 대한 포인터가 가장 환영받을 것입니다. $k$

감사의 말

관련 질문 참조 소수 조건부 밀도 . 이 질문의 이전 버전에 대한 유용한 의견을 주신 @Tsuyoshi Ito와 @Kaveh에게 감사의 말을 전합니다.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— 안드라 살 라몬
소스

(또는 다른 다항식 분수)에 너무 많은 문자열이 있다고 생각 하면 더 좋은 질문은 상한과 하한에 대해 묻는 것입니다.

2^{n} / n

$2^n/n$

— Kaveh

일반적인 P- 완전 문제의 밀도가 무엇인지 모르지만 이하의 밀도를 낮추는 방법을 보여주는 패딩 인수가 있습니다 . $1/n$

좋아하는 P- 완료 언어 가져 가십시오 . 이 언어는 일부 밀도 갖는다 . 이제 . 일반적으로 은 일부 함수 이므로 정의하지 않을 수 있습니다 $L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ 우리는 상부 밀도에 대해 걱정 만하기 때문에 규모를 들어, 단지 확인 경우 . 의 상부 밀도는 얼마입니까? 글쎄, 우리는 $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

디^{'} (엔 + 미디엄) = \frac{| 엘_{엔 + 미디엄}^{'} |}{2^{엔 + 미디엄}} = \frac{| 엘_{엔} |}{2^{엔 + 미디엄}} \leq \frac{디 (엔)}{2^{미디엄}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

이제 시스템 구축 사용 LOG-절감을 할 수 있습니다 에 대한 기계 사용 에 대한 . 입력 가 주어지면 쿼리 테이프에 한 번에 한 비트 씩 복사하고 카운터를 사용하여 을 계산하십시오 . 두 번째 카운터를 사용하여 까지 세고 매번 하나씩 추가하십시오. 쿼리 테이프에 0을 추가 할 때 (로그 공간을 확보하려면 하고 쉽게 계산할 수 있어야합니다). 그런 다음 출력을 쿼리하여 답변으로 반환하십시오. $M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

우리가하고 싶다면 반드시 우리는 작은보다 다음 단지 선택 , 그리고 우리가해야합니다 . $1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— 아르 템 카즈 나체 예프
소스

고마워, 이것은 질문에 대답합니다. 이 논증은

이 다항식 적으로

과 관련되어있는 것으로 보인다. 밀도

을 달성 할 수 있을까?

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

— András Salamon

그렇게 생각하면 m = log log n 만 있으면됩니다. 일반적으로 m = f (n)의 경우 LOG 공간에있는 임의의 f를 선택할 수 있습니다 (단항은 n). (또는 축소를 선호하는 경우 NC).

— Artem Kaznatcheev