정규 문법에서 허용되는 단어 개수

정규 언어 (NFA, DFA, 문법 또는 정규식)가 주어지면 주어진 언어에서 허용되는 단어 수를 어떻게 계산할 수 있습니까? "정확히 n 개의 문자가있는"및 "최대 n 개의 문자가있는"모두 관심 대상입니다.

Margareta Ackerman 은 NFA가 받아들이는 단어를 열거하는 관련 주제에 관한 두 가지 논문을 가지고 있지만 효율적으로 계산할 수는 없었습니다.

일반 언어의 제한된 특성으로 인해 상대적으로 쉽게 계산할 수있는 것처럼 보입니다. 알고리즘보다 공식을 거의 기대합니다. 불행히도 지금까지 검색 한 내용이 전혀 나타나지 않았으므로 잘못된 용어를 사용해야합니다.

초기 상태가 상태 인 DFA의 경우, 상태 i 에서 끝나는 길이 k 의 워드 수 는 A k [ 0 , i ] 이며, 여기서 A 는 DFA의 전송 매트릭스입니다. 행 i 및 열 j 의 숫자는 상태 i 에서 상태 j 로의 전이를 일으키는 다른 입력 기호의 수입니다 . 당신이 길이의 말씀을 받아들이는 셀 수 있도록 정확히 케이 경우에도 쉽게 $0$$k$$i$$A^k[0,i]$$A$$i$$j$$i$$j$$k$$k$ 행렬 전력을 계산하고 수락 상태에 해당하는 항목을 추가하기 만하면 적당히 큽니다.

약간 다른 행렬 로 최대 길이의 단어를 허용하는 경우에도 마찬가지 입니다. 행과 열 모두에있는 셀에 하나, 새 행과 초기 상태의 열에 하나, 다른 모든 셀에는 0을 추가하여 행렬의 추가 행과 열을 추가하십시오. 매트릭스에 대한 이러한 변경의 효과는 각 전력에서 초기 상태에 하나 이상의 경로를 추가하는 것입니다.$k$

NFA에서는 작동하지 않습니다. 최선의 방법은 DFA로 변환 한 다음 행렬 구동 알고리즘을 적용하는 것입니다.

하자 상태의 개시와 (결정적) 유한 자동화 될 Q 1 , Q F ⊆ Q 및 δ ⊆ Q × Σ × Q를 .$A = (Q = \{q_1, \dots, q_n\}, \Sigma, \delta, Q_F)$$q_1$$Q_F \subseteq Q$$\delta \subseteq Q\times\Sigma\times Q$

하자 부터 허용 될 수있는 모든 단어를 생성하는 함수 Q I 는 IS, N 의 급수 전개 계수의 차 [ (Z) N ] Q I = | { w ∣ | 승 | = n ∧ w  는 q i 에서 허용  } | .$Q_i(z)$$q_i$$n$$[z^n]Q_i = |\{w \mid |w| = n \wedge w \text{ accepted from } q_i\}|$

분명히:

$Q_i(z) = \left[ q_i \in Q_F \right] + \sum\limits_{(q_i, a, q_j) \in \delta} x \cdot Q_j(z)$

대한 결과 (선형) 방정식 시스템을 풉니 다 (Mathematica 또는 유사한 도구 사용). 그리고, [ z n ] Q 1 이 원하는 양이다.$Q_1$$[z^n]Q_1$

이것은 Chomsky와 Schützenberger (1963)에 의해 문법에 도입 된 기술로 되돌아 간다. 유한 오토마타로 쉽게 옮깁니다.

편집 : 당신이 계정에 원하는 경우 -transitions, 단지 요인 생략 X를 해당 전환에 대한 합계에서. 유사하게, "압축 된"모서리가있는 경우, 즉 전환시 기호 a ∈ Σ a 단어 w ∈ Σ k 대신 x 를 x k로 바꿉니다 .$\varepsilon$$x$$a \in \Sigma$$w \in \Sigma^k$$x$$x^k$

나는 이것이 어려운 계산 문제라고 생각한다.이 논문을 참조하십시오 : 주어진 길이의 정규 시퀀스의 크기를 계산하는 것은 # P- 완료입니다 : S. Kannan, Z. Sweedyk 및 SR Mahaney 일반 언어로 문자열을 계산하고 무작위로 생성합니다. 이산 알고리즘에 관한 ACM-SIAM 심포지엄 (SODA), 551–557, 1995 쪽.

$\#\mathsf{NC}^1$