다항식 크기 최소화의 복잡성

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하자 정도의 수 다항식에 변수 위에 , 일정 (2 또는 3을 말한다). 에 대한 가장 작은 공식을 찾고 싶습니다 . 여기서 "수식"및 "수식 크기"는 명백한 방식으로 정의됩니다 (예 : 다항식 의 가장 작은 공식 은 ). $f(x_1,\dots,x_n)$ $d$ $n$ $\mathbb{F}_2$ $d$ $f$ $x_1 x_2 + x_1 x_3$ $x_1(x_2+x_3)$

이 문제의 복잡성은 무엇입니까? NP-hard입니까? 복잡성은 의존합니까 ? $d$

더 공식적으로, 공식 (일명 "산술 공식")은 루팅 된 이진 트리이며 각각의 잎은 입력 변수 또는 상수 1로 레이블이 지정됩니다. 트리의 다른 모든 정점에는 또는 로 레이블이 지정됩니다 . 공식의 크기는 사용 된 잎의 수입니다. 공식은 재귀 적 다항식 계산 : 꼭지점을 통해 자녀의 합을 계산 , 정점 제품을 계산한다. ] $+$ $\times$ $+$ $\mathbb{F}_2$ $\times$

cc.complexity-theory formulas

— 애슐리 몬타나로
소스

1

다항식 아이덴티티 테스트를이 문제로 줄일 수 없습니까?

— Kaveh

4

나는 연결이있을 수 있다고 생각하지만, 즉시 정도는 보이지 않기 때문에 즉시 보지 못합니다. 또한 문제가 다항식 아이덴티티 테스트보다 어려운 경우 얼마나 어려운지 아는 것이 흥미로울 것입니다.

— Ashley Montanaro

귀하의 경우 공식 의 게이트 수 (

s 및

s)는 실제 공식 크기와 어떻게 관련이 있습니까? 들어

에서 건설 Ehrenfeucht 및 카핀 스키 (90) 은 "게이트"-formula 크기 (2XOR 단락 참조) 관련 것 같다,하지만 난 더 이상 그것에 대해 생각해야합니다.

+

$+$

\times

$\times$

d = 2

$d=2$

— Alessandro Cosentino

수식은 이진 트리이므로 여기에서 사용한 수식 크기 (잎 수)의 정의는 게이트 수 (내부 정점)에 1을 더한 것과 같습니다. 그러나 수식 크기의 다른 합리적인 정의에 대한 결과에도 관심이 있습니다. 나는 Ehrenfeucht와 Karpinski의 결과와 관련이 있다고 확신하지 않습니다. 이것들은 공식 크기를 최소화하는 것이 아니라 솔루션 계산의 복잡성에 관한 것입니다 ...

— Ashley Montanaro

d = 2

$d=2$

7

co-NP-Complete TAUTOLOGY 문제 (부울 수식이 주어 졌거나, 그것이 팽팽한가?)를 수식 크기 최소화 문제로 줄일 수 있습니다. 더욱이, 3DNF에 대한 TAUTOLOGY (3CNF에 대한 SAT와 유사)는 co-NP-Complete입니다.

— 다나 모 쉬코 비츠
소스

1

f

$f$

3

GF (2)에 대한 deg-3 다항식을 고려할 때 3의 SAT에서 검사로 확률이 감소합니다. [절의 임의 선형 조합을보고] 0을 갖는지, 그런 다음 deg- [0에서 poly을 빼서] 0인지 여부에 관계없이 GF (2)에 대한 3 poly.

— Dana Moshkovitz

1

감사! 2 차 다항식의 상황이 무엇인지 아십니까? 또한 (이것은 아마도 매우 밀도가 높음) 표준 형식으로 작성된 GF (2)에 대한 3 차 다항식이 어떻게 다항식이 아닌 제로가 될 수 있는지 알기 위해 고심하고 있습니다. 분명히, 나는 내 문제에 대한 입력이 다항식을 계산하는 회로에 대한 설명이 아니라 다항식 자체에 대한 설명이라고 생각합니다.

— Ashley Montanaro

2

x^{k} \to x

$x^k \rightarrow x$

4

실제로 설명대로 다 선형으로 만들면 다항식은 모든 입력에서 0으로 평가됩니다. 하나의 증거 : 최소 정도의 0이 아닌 모노 미 M을 선택하십시오. 다른 모든 변수를 0으로 설정하십시오. 유일하게 살아남은 단항은 M입니다. M의 변수를 1로 설정하면 0이 아닌 출력을 얻습니다.

— Manu

4

정확히 대답은 아니지만 희망적으로 도움이됩니다.

$n$ $\sum a_{ij}x_iy_j$ $F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

$3$ $n$

— 클림
소스

2

감사! 이것은 문제에 대한 흥미로운 관점입니다.

— Ashley Montanaro

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1, f_2,\ldots,f_n$

z_{1} f_{1} + z_{2} f_{2} \dots z_{n} f_{n}

$z_1f_1+z_2f_2\ldots z_n f_n$

d = 2

$d = 2$

2

이에 대한 답변 은 답변에서 허용 하는 어휘 에 크게 좌우 됩니다. 입력과 같은 언어로 답을 원한다면 (즉, 다항식으로), 다른 포스터가 어려움을 겪고있는 한 세트의 답변으로 이어집니다.

그러나 당신이 허용하는 경우 응답 어휘가 확대 될 멋진 일이 발생할 수 있습니다. 상징적 차별화와 자동적 차별화의 예를 볼 수 있습니다. 상징적 차별화에서는 '표현'만 허용합니다. 자동 미분에서는 입력에 표현식이 있더라도 직선 프로그램 을 사용하여 표현식 팽창을 제어하는 데 크게 도움이됩니다. 단 변량 다항식를 들어, 제임스 데븐 포트와 나는 숙고했다 기본 어휘의 일부로 세포핵 다항식을 던져야 함 및 3SAT).

다시 말해서, 당신이 당신이 생각하는 답변을 고전적인 답변과 약간 다르게 할 수 있다면, 다소 다른 답변, 즉 훨씬 더 복잡한 답변을 얻을 수있을 것입니다. 순전히 이론적이거나 응용 프로그램을 염두에두고 질문을하려는 원래의 동기에 따라 이러한 어휘의 변화가 귀하에게 적합한 지 결정합니다. James와 내가 이것에 대해 생각한 환경에서 (심볼 계산), 복잡성을 떨어 뜨리기 위해 어휘를 조정하는 것은 완벽하게 수용 가능합니다 (아주 드물게 수행됨).

— 자크 카레 트
소스

이 질문은 가장 작은 산술 공식을 요구하며,이 공식은 명확하게 정의됩니다. 따라서이 회신이 직접적인 관련이 있는지 잘 모르겠습니다. 또한 Dana Moshkovitz의 위의 답변과 관련 의견은 의견에서 이미 인정 된대로 질문에 올바르게 답변하지 않습니다.

— Raphael

내 대답의 요점은 OP가 반드시 최고의 질문을하지는 않는다는 것을 인식하지 못할 수 있다는 것입니다. OP의 질문은 매우 고전적인 용어로 요구되지만 그로부터 약간의 편차를 허용하면 상당히 다른 답변을 얻습니다. 귀하의 의견을 이해하지만 공감대가 다소 가혹하다고 생각합니다.

— Jacques Carette

질문의 정답이 아직 정확하지 않은지 확인하기 위해 답의 첫 번째 단락을 수정할 수 있습니까? 사람들이 오도 될까봐 걱정이되었습니다.

— 라파엘

1

@Raphael : 끝났습니다. 그리고 더 명확하게.

— Jacques Carette

0

모든 회로의 최소 공식 크기가 단순히 0이므로 일반적인 회로 / 수식 최소화는 동일성 테스트보다 확실히 어렵습니다. 얼마나 어려운지에 대해서는 결정적인 답이 없지만 산술 회로 / 공식에서 연구 된 "재건 알고리즘"이 이러한 선을 따르는 것일 수 있습니다.

$\mathcal{C}$ $3$ $\mathcal{C}$

$d$

$d=2$ $x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$

— 람 프라 사드
소스

귀하의 의견에 감사드립니다. 안타깝게도 이러한 아이디어를 사용하여 원래 문제를 해결하는 방법을 모르겠습니다.

— Ashley Montanaro

다항식 크기 ​​최소화의 복잡성

다항식 크기 최소화의 복잡성