람다 미적분학에서 변환 의 요점은 무엇입니까 ?

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나는 그것을 이해하지 못하는 것 같아요,하지만 나에게 -conversion 모습을 A와 아무것도의 특별한 경우하지 않습니다 -conversion 결과가 람다 추상화 단지 용어입니다 -conversion을 아무것도 없기 때문에 무의미한 beta-변환의 종류 . $\eta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

아마도 -conversion은 이것과는 정말로 깊고 다른 것이지만, 그것이 없다면 그것을 얻지 못하고 도움이되기를 바랍니다. $\eta$

(감사하고 죄송합니다. 이것은 람다 미적분학의 기본 사항 중 하나입니다.)

lo.logic lambda-calculus extensionality

— Trylks
소스

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업데이트 [2011-09-20] : -expansion 및 extensionality에 대한 단락 을 확장했습니다. 좋은 참조를 해준 Anton Salikhmetov에게 감사합니다. $\eta$

$\eta$ -conversion 특수한 경우이다 변환 - 만 때 특별한 경우 , 예를 들면 추상화 자체 경우 다음에그러나 가 변수이거나 추상화로 축소되지 않는 응용 프로그램 이라면 어떨까요? $(\lambda x . f x) = f$ $\beta$ $f$ $f = \lambda y . y y$

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$

f

$f$

어떤 방식으로 -rule은 특별한 종류의 확장 성과 비슷하지만 어떻게 표현되는지에 대해 조심해야합니다. 확장 성을 다음과 같이 말할 수 있습니다. $\eta$

모든 terms 과 에 대해 이면 이거나 $\lambda$ $M$ $N$ $M x = N x$ $M = N$
모든 의 경우 다음에 입니다. $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

첫 번째는 -calculus 의 용어에 대한 메타 문 입니다. 여기에서 는 공식 변수로 나타납니다. 즉, -calculus의 일부입니다 . -rules 에서 증명할 수 있습니다. 예를 들어 Barendregt (1985)의 "Lambda Calculus : its Syntax and Semantics"의 정리 2.1.29를 참조하십시오 . 그것은 모든 정의 가능한 기능들, 즉 terms를 나타내는 기능들 에 대한 진술로 이해 될 수있다 . $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

두 번째 진술은 수학자들이 일반적으로 수학 진술을 이해하는 방법입니다. -calculus 이론은 특정 종류의 구조를 설명합니다. " -models "라고 부릅니다 . - 모델은 셀 수없는 수 있습니다, 그래서 보장은 없습니다 그 그것의 모든 요소에 대응에 -term (레알을 설명하는 표현이보다 더 많은 실수가있는 것처럼). Extensionality는 말한다 : 우리가 어떤 두 가지를 가지고가는 경우 와 의 - 모델, 경우 모든 다음 모델에서, . 이제 모델이 $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ $\eta$ -rule, 이런 의미에서 확장 성을 만족시킬 필요는 없습니다. (여기에 참조가 필요하며 평등이 어떻게 해석되는지주의해야한다고 생각합니다.)

우리는 동기를 부여 할 수있는 여러 가지 방법이 있습니다 와 - -conversions은. 나는 -calculus 로 위장한 범주 이론적 이론을 무작위로 고를 것이며, 다른 누군가가 다른 이유를 설명 할 수 있습니다. $\beta$ $\eta$ $\lambda$

유형이 지정된 -calculus를 고려해 봅시다. 혼동이 적기 때문에 유형이 지정되지 않은 -calculus에 대해 동일한 추론이 작동하기 때문 입니다. 기본 법칙 중 하나는 지수법(나는 표기법을 사용하고 와 , 교환 할 더 잘 보인다 중 따기.)를 isomorphisms 무엇 및 는 -calculus로 작성 되었습니까? 아마도 그들은 및 $\lambda$ $\lambda$

C^{A \times B} ≅ (C^{B})^{A} .

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

i = λ f : C^{A \times B} . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

j = λ g : (C^{B})^{A} . λ p : A \times B . g (π_{1} p) (π_{2} p) .

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$ 제품 의 -reductions 및 를 포함하여 몇 가지 -reductions에 대한 간단한 계산 은 모든 것에 대해 우리는 와 는 서로 역 이기 때문에 기대 하지만 실제로 이것을 증명하려면 -reduction을 두 번 사용해야합니다 .

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

i (j g) = λ a : A . λ b : B . g a b .

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$ 따라서 이것이 reductions 을 갖는 한 가지 이유입니다 . 연습 : 임을 나타내려면 어떤 -rule이 필요 합니까?

η

$\eta$

η

$\eta$

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— 안드레이 바우어
소스

"또한, η-rule은 함수의 확장성에 관한 것이라고 들었습니다. 이것은 거짓입니다." 확장 성 규칙을 사용하여 -equality axioms 및 추론 규칙을 확장하면 (내 답변 참조)이 추론 규칙 세트가 캡처됩니다. 정확히 eta-같지 않습니까? (즉, -equal 인 경우이 이론에서 두 용어가 동일 함 )

β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

— Marcin Kotowski

@Marcin : 그렇습니다. 확장 성은 -rule을 의미 하지만 그 반대는 아닙니다. 어떻게에서 extensionality을 도출 것 와 - - 규칙?

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

— Andrej Bauer

1

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

확장 성을 스키마로 생각하고 있습니다. 즉, 모든 특정 쌍의 용어 및 대해 확장 성을 보유하고 있음을 증명합니다 . 나는 확장 성을 진술로 생각하고 있었다. 내 생각에 이제 생각 해봐야합니다.

M

$M$

N

$N$

— Andrej Bauer

1

@AndrejBauer 나는 η- 규칙이 완전한 확장 성이 아니라는 점에 동의하지만 그것이 여전히 제한된 확장 성의 형식이라고 생각하지는 않습니다. 원래의 질문은 동기 부여와 개념을 찾고 있으며,이 경우 확장 성 측면에서 생각하는 것이 유용하다고 생각합니다 (물론 너무 멀리 가지 않아야합니다).

— Marc Hamann

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이 질문에 답하기 위해 해당 논문“Lambda Calculus. 문법과 의미론”(Barendregt, 1981) :

$\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[그 증거는 다음 정리에 근거한다.]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

HP- 완전 [힐버트 포스트 이후] 이론은 1 차 논리 모델 이론에서 일관된 최대 이론에 해당합니다.

7

$\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$
$\iota$
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

이것은 Böhm의 정리의 결과입니다.

— 코디
소스

6

$\eta$

$=_{\beta \eta}$ $\rightarrow_{\beta\eta}$ $M=N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$ $=_{\beta}$

$=_{\beta}$ $=_{\beta\eta}$ $\lambda x. Mx = M$ $Mx=Nx$ $M=N$

— 마르신 코토 프 스키
소스

η

$\eta$

Barendregt의 논문 (The Lamda Calculus and the Semantics, 1985)의 정리 2.1.29 참조.

2

ξ

$\xi$

그리고 나는 행복과“유사한”과 같은 대답이 상응하는 인용문과 함께 직접 관련된 인용문보다 더 많은 관심을 얻는 것이 너무 행복하지 않습니다.

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

α

$\alpha$

β

$\beta$