균형 벡터의 빠른 인코딩

어떤 에 대해서도 {0,1} 에서 {0,1} 1-1 매핑 가 존재하여 어떤 에 대해서도 벡터 는 "균형"입니다. 즉, 1과 0의 개수가 같습니다. 주어진 우리가 효율적으로 계산할 수 있도록 그러한 를 정의 할 수 있습니까? $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

감사.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— 피오트르
소스

나는 '효율적인'이라는 말은 O (n) 또는 그 주변을 의미한다고 가정하고 "반복 된 무작위 시험"을 배제 하는가?

— Suresh Venkat

@Suresh, "반복 된 무작위 시험"인수를 스케치 할 수 있습니까?

— Emil

매핑이 존재 함을 증명하는 한 가지 방법은 확률 적 방법입니다. 무작위로 F를 선택하면 매핑이 약간의 확률로 작동합니다. 그것이 제가 의미 한 바입니다.

— Suresh Venkat

질문은 완벽하게 정의되어 있지만 제 생각에는 제목이 잘못되었습니다. F가 형이 아닌 한, 언급 된 조건을 만족하는 매핑 F를 "밸런스드 벡터의 인코딩"이라고 부를 수 없습니다. 균형 벡터에 의한 n- 비트 문자열의 인코딩과 비슷합니다 .

— 이토 쓰요시

아마도 "효율적으로"의 다른 해석에 이르기까지 "완벽하게 정의 된"것입니다. 그러나 이것은 나의 이전 의견의 요점이 아닙니다.

— 이토 쓰요시

답변:

비트 문자열 고려해 봅시다 . 정의 : $n$ $x$

$f(x,i)$ = 마지막 비트가 보완 된 비트 문자열 . $x$ $i$
$b(x)$ =의 "불균형" :의 1의 개수 의 0의 개수 . $x$ $x$ $-$ $x$

이제 문자열 수정하십시오 . 함수를 고려하십시오 . 관찰 : $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

$g(0) = b(x)$ 입니다.
$g(n) = -g(0)$ 입니다.
$|g(i) - g(i+1)| = 2$ 모든 대해 입니다 . 우리는 하나의 0을 제거하고 하나의 1을 추가하거나 그 반대로 추가합니다. $i$

이제 과 같은 가 존재합니다 . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

따라서 다음과 같이 비트 문자열 할 수 있습니다. 와 인덱스 의 이진 인코딩을 연결합니다 . 불균형의 절대 값 은 입니다. 또한, 우리는 주어진 를 회복 할 수 있습니다 . 매핑은 bijection입니다. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

마지막으로, 추가 의 불균형을 줄이기 더미 비트 로부터 로 . $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— 주카 수오 멜라
소스

세 번째 줄의 b (x)는 b (y) 여야합니다.

— Emil

나는 길이가 균일한지 확인하기 위해 문자열 x에 다른 비트를 추가해야한다고 생각합니다 (그래서 일부 i의 경우 g (i)가 0인지 확인할 수 있습니다).

— Emil

@Emil : 그 항하지 일부에 대해 0이 될 것이다 ; 의 절대 값이 일부 "정당히 작음" 이면 충분합니다 (대수는 충분하지만 일부 최대 임).

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Jukka Suomela

@Jukka : 아 맞습니다.

— Emil

그러나 그렇습니다. 맞습니다. 동일한 기본 접근 방식의 많은 변형이 있습니다. 예를 들어, 제안한대로 먼저 패딩 비트를 사용하여 일부 가 0이되도록 할 수 있습니다 . 그러면 인코딩 할 수 비트 쌍을 사용하여 또는 , 즉 여분의 비트; 연결의 결과가 엄격하게 균형을 이루므로 다른 것을 추가 할 필요가 없습니다.

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Jukka Suomela

사전 순서를 유지하는 매핑을 사용하십시오. 1이 있는 번째 길이 균형 벡터 를 찾으려면 재귀 적으로 수행하십시오. 인 경우 첫 번째 비트 0을 설정 한 다음 번째 길이 를 찾으십시오. - 나머지 비트 를 완성하기 위해 1을 갖는 벡터 . 그렇지 않으면 첫 번째 비트 1을 설정하고 1 과 함께 -길이 벡터를 찾으십시오 . $k$ $n$ $n/2$ $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— 제유
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그리고 이항 계수의 값을 재사용하여 다음 필요한 이항 계수를 계산하면 전체 알고리즘이 O (n) 시간으로 실행됩니다.

— 이토 쓰요시

감사! 이것은 말이됩니다. 실행 시간은 계산 모델에 달려 있다고 생각합니다. 단위 시간으로 n 비트 숫자에 대한 작업을 수행 할 수 있으면 Tsuyoshi Ito의 구현은 O (n) 시간에 실행됩니다. 반면에 비트 연산을 계산하면 시간이 O (n ^ 2)가 될 것이라고 생각합니다.

— Piotr