짧은 메시지가 포함 된 다중 증명 대화 형 증명에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

Beigi, Shor 및 Watrous는 짧은 메시지와 함께 양자 대화 형 증명의 힘에 대한 아주 훌륭한 논문 을 가지고 있습니다 . 그들은 '짧은 메시지'의 세 가지 변형을 고려하며, 내가 관심있는 특정 것은 많은 메시지를 보낼 수있는 두 번째 변형이지만 총 메시지 길이는 로그 여야합니다. 특히 그들은 그러한 대화 형 증명 시스템이 BQP의 표현력을 가지고 있음을 보여줍니다.

내가 알고 싶은 것은 클래식 또는 양자 검증기의 멀티 프로 버 설정에 대해 유사한 결과가 있는지 여부입니다. 모든 메시지의 전체 길이가 문제 크기에서 로그로 제한된 다중 증명 대화 형 증명에 대해 사소한 복잡하지 않은 결과가 있습니까?

완전 클래식 케이스 (MIP)

검증자가 고전적이며 프로 바이더 사이에 사전 얽힘이없는 경우 클래스에 BPP∪NP가 포함되고 MA에 포함됩니다 .

BPP가 하한이라는 것은 사소한 일입니다. 클래스에 NP가 포함되어 있음을 보여주기 위해 완벽한 완전성과 건전성 오류 1-1 / 폴리를 갖는 3 색성에 대한 표준 2 개 검증 된 원 라운드 대화 형 교정 시스템을 고려하십시오. 소리 오류를 일정하게 줄이려면이를 PCP 정리와 결합하십시오.

상한과 관련하여 다음과 같은 더 강력한 진술이 있습니다. 검증기에서 각 검증 자까지의 총 메시지 길이가 O (log n ) 인 MAIP는 MA와 동일합니다. 이는 각 증명 자의 전략을 다항식 길이의 문자열로 설명 할 수 있기 때문입니다.

흥미롭게도 시스템이 완벽하게 완성되면 또 다른 상한이 존재합니다. 즉, O (log n ) 비트 전체 통신 을 완벽하게 갖춘 다중 검증 대화식 증명 시스템 은 최대 P ^{NP [log]를} 인식하며 , 무한한 소리 오류를 허용하더라도이를 유지합니다. 이 피 인증의 경우이를 증명하기 위해,하자 X _의 첫 증명에 대한 모든 질문의 연결이 때 처음 증명에 의해 주어진 모든 대답의 연결이 될 들 , 그리고 정의 Y _t을 두 번째 증명에 대한 유사. 이러한 변수 확실하게 검증에 의해 허용되는 X _의 및 y _t특정 제약 조건을 만족해야하며 이것이 2CSP임을 유의하십시오. 튜플 ( s , t , x _s , y _t )에 대해 최대 poly ( n ) 선택이 있으며 각 선택에 대해 NP 오라클을 사용하여 검증자가 해당 튜플을 거부하는지 여부를 테스트 할 수 있습니다. 따라서 NP 오라클을 사용하면 변수 x _s 및 y _t 에 대한 모든 제약 조건을 나열 할 수 있습니다다항식 시간. 마지막으로, NP oracle을 한 번 더 사용하여 모든 제약 조건을 만족하는 이러한 변수에 할당이 있는지 테스트합니다. 이 알고리즘은 다항식으로 NP 오라클을 여러 번 사용하지만 마지막 쿼리를 제외한 모든 쿼리를 병렬로 만들 수 있으므로 P ^{NP [log]} 알고리즘 으로 변환 할 수 있습니다 . 두 명 이상의 경우도 비슷합니다.

이 상한은 모든 MA 시스템이 완벽한 완전성을 갖춘 시스템으로 전환 될 수 있지만 MA⊆P ^{NP [log]가} 아니면 O (log n ) 비트 통신 을 완벽하게 갖춘 다중 검증 대화식 증명 시스템을 기대할 수 없음을 의미합니다 . MA⊆P ^{NP [log]} 가 얼마나 포함되어 있는지는 잘 모르겠지만 , Complexity Zoology 는 BPP⊈ P ^NP 와 관련하여 오라클이 있다고 명시하고 있습니다 (따라서 분명히 MA⊈P ^{NP [log]} ).

(단일 증명의 경우 Goldreich 및 Håstad의 정리 2 [GH98]은 전체 메시지 길이 O (log n ) 비트의 IP 가 BPP와 동일 함을 나타냅니다.

추가되었습니다 . 필요하고 충분한 특성은 다음과 같습니다.

이 특성화를 설명하기 위해 Karp reducibility (다항식 시간의 one-one reducibility) 개념의 변형이 필요합니다. 이 의사 결정 문제를 들어 와 B ,의가 있다고하자 A는 FP입니다 ^BPP 에 -reducible B (I, 이것은 끔찍한 이름을 알고) 기계 튜링 결정적 다항식 시간이있을 때 M을 네 - 매핑 BPP 오라클에 접근을 인스턴스가없는 인스턴스, 인스턴스가없는 인스턴스, 인스턴스가 "스마트하지 않은"Oracle 액세스 ( M을 의미)BPP 문제의 약속을 충족시키지 못하는 인스턴스에 대해 BPP 오라클에 쿼리 할 수 ​​있습니다.이 경우 오라클은 임의로 예 또는 아니오를 반환합니다). 그러면 문제 A 의 다음 조건 이 동일 하다는 것을 알 수 있습니다 .

(i) A 는 O (log n ) 비트 통신 및 양면 경계 오류 가있는 다중 검증 대화식 증명 시스템을 갖추고 있습니다.
(ii) A 는 O (log n ) 비트 통신, 기하 급수적으로 작은 완전성 오류 및 일정한 소 음성 오류 가있는 2 개의 입증 된 1 라운드 대화 형 증명 시스템을 갖추고 있습니다.
(iii) A 는 FP ^BPP 이며 NP의 문제로 환원 가능하다.

(증거 아이디어 : 의미 (ii) ⇒ (i)는 사소한 것으로 일방적 인 오류의 경우 위의 증거와 유사한 방식으로 의미 (i) ⇒ (iii)을 얻을 수 있습니다. )는 조건 (ii)를 만족시키는 문제의 분류가 FP ^BPP 하에서 종결되기 때문에 PCP 정리에서 따릅니다. -reducibility).

얽힌 프로 버가있는 클래식 검증기 (MIP *)

다음으로 고전적인 검증 자와 얽힌 프로 버로 사례를 고려하십시오. 이 경우 경계 오류가있는 클래스에는 다시 BPP∪NP가 포함됩니다.

Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner 및 Vidick [KKMTV11]에 따르면 NP의 모든 문제에는 전체 메시지 길이가 O 인 완벽한 완전성 및 건전성 오류 1-1 / 폴리를 갖는 3 개의 입증 된 1 라운드 대화 형 증명 시스템이 있습니다 ( log n ) 비트, 그리고 소리는 얽힌 provers에 대해 유지됩니다. 따라서 총 메시지 길이 O (log n ) 비트 및 경계 오류가있는 MIP * 에는 NP가 포함됩니다. 나중에 Ito, Kobayashi 및 Matsumoto [IKM09] (shameless plug)의 결과는 발기인의 수를 3에서 2로 줄입니다. 끊임없는 건 전함은 내가 아는 한 최고입니다.

총 메시지 길이 O (log n ) 비트를 갖는 MIP *가 결정 가능한 문제의 클래스 R에 포함 되는지 여부는 알려져 있지 않으며,이 질문은 패딩 인수에 의한 MIP * ⊆R (또 다른 열린 문제)와 같은지 여부입니다.

참고 문헌

[GH98] Oded Goldreich와 Johan Håstad. 제한된 커뮤니케이션으로 대화 형 증명의 복잡성. 정보 처리 서한 , 67 (4) : 205–214, 1998 년 8 월. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09] 이토 츠요시, 히로타다 코바야시, 마츠모토 게이지. 비 국소 적 전략에 대한 오라 큘 라이 제이션 및 2 가지 입증 된 일회성 대화 형 증명. 절차 : 전산 복잡성에 관한 24 연례 IEEE 회의 (CCC 2009) , 217–228, 2009 년 7 월. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner 및 Thomas Vidick. 얽힌 게임은 근사하기가 어렵습니다. SIAM Journal on Computing , 40 (3) : 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293