비 결정적 시간 계층에 자연적인 분리가 있습니까?

최초의 비결정론 적 시간 계층 정리는 Cook에 기인한다 (링크는 비결정론 적 시간 복잡성을위한 계층 , S. Cook , JCSS 7 343-353, 1973). 정리는 임의의 실수 $r_1$ 과 $r_2$ 에 대해 $1 \le r_1 \lt r_2$ 이면 NTIME ( $n^{r_1}$ )은 NTIME ( $n^{r_2}$ ) 에 엄격하게 포함된다고 명시 합니다.

증명의 중요한 부분 중 하나는 (특정되지 않은) 대각 화를 사용하여 더 작은 클래스의 요소에서 분리 언어를 구성합니다. 이것은 비 건설적인 논거 일뿐만 아니라, 대각선 화를 통해 얻은 언어는 대개 분리 자체 이외의 통찰력을 제공하지 않습니다.

NTIME 계층 구조를 이해하려면 다음 질문에 답해야합니다.

NTIME ( $n^{k+1}$ )에는 자연어가 있지만 NTIME ( $n^k$ ) 에는 자연어가 있습니까?

한 후보는 k-ISOLATED SAT 일 수 있으며 , 이는 해밍 거리 k 내에 다른 솔루션이없는 CNF 공식에 대한 솔루션을 찾아야합니다. 그러나, 하한을 증명하는 것 입니다 평소와 같이, 까다로운. 그것은 해밍 K-볼을 확인하는 것은 잠재적 인 솔루션의 명확한 것은 분명하다 요구 "해야한다" $\Omega(n^k)$ 다른 과제는 검사 할, 그러나 이것은 쉽게하려는 것이 아니며 증명 . (참고 : Ryan Williams는 $k$ -ISOLATED SAT에 대한이 하한 이 실제로 P ≠ NP임을 증명하므로이 문제가 올바른 후보는 아니라고 지적합니다.)

P 대 NP와 같은 입증되지 않은 분리에 관계없이 정리는 무조건 유지됩니다. 따라서이 질문에 대한 긍정적 인 대답 은 위의 $k$ ISOLATED SAT 와 같은 추가 속성이 없으면 P 대 NP를 해결 하지 못합니다. NTIME의 자연적인 분리는 아마도 NP의 "어려운"행동의 일부를 밝히는 데 도움이 될 것입니다.이 부분은 무한한 경도의 경도에서 어려움을 유발합니다.

하한이 어렵 기 때문에 아직 증거가 없더라도 하한을 믿을만한 충분한 이유가있는 자연 언어를 대답으로 받아들입니다. 이 질문은 DTIME에 대해 있었다면 예를 들어, 내가 허용 할 것이다 $f(k)$ 비 감소 기능을 위해, -CLIQUE을 $f(x) \in \Theta(x)$ , 즉 아마 필요한 분리를 제공하는 자연 언어로, Razborov와 Rossman의 회로 하한과 CLIQUE의 $n^{1-\epsilon}$ 근사치에 기반합니다.

(Kaveh의 의견과 Ryan의 답변을 해결하기 위해 편집되었습니다.)

내가 아는 한, 우리는 그러한 언어를 모르거나, 그렇게 할 경우, 그 언어의 "자연성"에 대해 중요한 논쟁이 있습니다. 나는 이것이 실제로 만족스러운 답변이 아니라는 것을 알고 있지만 말할 수는 있습니다.

(a) k 마다 k -ISOLATED SAT에 대한 시간 하한을 증명하면 실제로 P ≠ N P로 증명 된 것 입니다.$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

(나)는 K 절연 SAT는 이러한 자연적인 문제 중 하나입니다 보여줄 수 있도록 노력하겠습니다 수있는 방법 중 하나 표시하는 것입니다 K 절연 SAT 문제는 N T I M E [ n k ] 에 대해 어렵다 (일반적으로 효율적으로 축소한다는 공식적인 의미에서) . 실제로 이것은 우리가 그러한 결과를 증명하는 방법을 아는 유일한 방법입니다. 그러나 k-ISOLATED SAT는 아마도 이런 의미에서 어렵지 않습니다. 결과는 거의 없습니다.$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

$\Sigma_2 TIME[n]$$k$$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

다음은 (a) 부분의 증거입니다. ISOLATED SAT를 입력의 일부로 주어진 의 문제 버전이라고합니다 (단항으로). ISOLATED SAT 에 모든 대해 시간이 필요하다는 것을 증명한다고 가정하십시오 . 인 경우 일부 고정 대해 은 에 있습니다 (증거는 Cook의 정리의 효율적인 버전을 사용합니다. 시간에 SAT 알고리즘이 실행중인 경우 이면 충분합니다). 그러나 우리는 언어가 있다는 것을 증명 입니다 하지 에 모든에 대한$k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$. 이것은 모순이므로 입니다.$P \neq NP$

다음은 (b) 부분의 증거입니다. 모든 를 k-ISOLATED SAT 공식으로 효율적으로 줄일 수 있다면 (예를 들어, 모든 비트 인스턴스는 최대 -ISOLATED SAT 공식으로 줄어 듭니다. size) 입니다. 이것은 즉시 암시 하지만 , 다항식 계층 내에서 모든 를 그렇게 효율적으로 시뮬레이션 할 수 는 없을 것 같습니다 .n L k f ( k ) n c N P = ⋃ k N T I M E [ n k ] ⊆ Σ 2 T I M E [ n c + 1 ] c o N P ≠ N P N $L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$