FO 속성은 언제 NL- 경도를 제거합니까?

맥락 : 우리는 오직 digraph 만 고려한다. CYCLE을주기가있는 그래프의 언어로 지정하십시오. NL 완료 문제입니다. HASEDGE를 하나 이상의 모서리가있는 그래프의 언어로 설정하십시오. 그런 다음 사소한 는 더 이상 NL 하드가 아니며 는 그대로 유지됩니다. $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$

실제 문제 : 언어 는 여전히 NL-hard입니다.

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$

질문 : 그래프의 어휘에서 FO 공식 는 NL-hard? 이 속성은 결정할 수 있습니까? $\phi$

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$

입력 해 주셔서 감사합니다!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— 미카엘 카딜 하크
소스

답변:

"실제 문제" 의 속성으로 전화하겠습니다 . 다음 매핑은 을 . $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

소정의 경우 , 모든 정점 대체 에서 두 카피가 및 , 그리고 에지가있는 경우 에서 ,하자 가장자리가 및 $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ . 이에 대한 모든 그래프 를 만족 . $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

또한, IFF에 사이클을 갖는 있으므로,주기를 갖는 를 만족 IFF satifies . 따라서 는 NL-hard입니다. $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

나는 모든 보편적 인 재산에 대해 비슷한 구조가 작동한다고 생각합니다.

— 얀 요한센
소스

작업 해 주셔서 감사합니다 Jan! 그러나 NODIAG 구조가 G로 표시 되어도 건설이 끝날 때 AFAIU로 표시되므로 문제를 완전히 해결하지 못했습니다.

— Michaël Cadilhac

예, 그러나 무엇을. 건설 적용하도록

. 그렇다면

, 다음

, 따라서

. OTOH, 만약

, 따라서

. 따라서이 구조는

을

입니다.

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

— 얀 요한센

1 월, 정말 죄송합니다. 제 질문의 말을 엉망으로 만들었습니다. 기술 된 하위 그래프는 EXCLUDED 그래프로 간주되었습니다. 이전 단어 를 사용하면 그래프가 NODIAG에서 벗어나려면 4 개의 새로운 노드

및 모서리

하면됩니다. 다시 한 번 오타가 유감입니다.

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— Michaël Cadilhac

(PS : 틀린 질문에 대해 당신에게 빚진 바와 같이, 여기에 목록에없는 멋진 제목을 가진 TCS 논문이 있습니다 : Tesson과

— Therien의

이 경우 모든 모서리에 새로운 정점을 추가하는 방법은 다음과 같습니다

에서 모든

를

및

. 결과 그래프

는

가 순환 적이며

가 배제 된 구조를 갖지 않는다. BTW 그 목록을 더 이상 유지하지 않습니다.

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Jan Johannsen

실제 문제는 FO에 있습니다. 존재한다면 테스트 이되도록 및 는 분명히 FO입니다. $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

이러한 없다고 가정 , 다음 경우만 방향성 사이클 인정 길이 방향의 두 개의 사이클을 인정한다. 이는 임의의 두 정점 사실로부터 추론 될 수 및 의 그 밖의 지역 및 와 같은 것을 또는 $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ . $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

따라서, 존재 여부를 확인하는 것으로 충분 이되도록 , FO되어있다. $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

그래서, 인 경우만 $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— 아드리 엔
소스

고마워 Adrien. 두 노드의 이웃이 비슷한 이유에 대해 논쟁을 추가하고 싶습니까? 누군가가 완전한 문제를 해결하는지 확인하기 위해 조금 기다릴 것이며, 아무도 나타나지 않으면 답을 찾을 것입니다.

— Michaël Cadilhac

나는 이웃들과 비교할 수 있다고 생각하지 않습니다. 예를 들어 모서리

및

가있는 4 개의 꼭짓점

의 그래프를보십시오 . 이 그래프를 만족 마이클 식이지만

와 비교할

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Jan Johannsen

@Jan : 내가 실수하지 않으면 Adrien의 요점은 그래프가 두 번째 부분을 만족시키지 못하면 사이클이 있으면 길이가 2라는 것입니다. 그래프가 <i> 두 번째 부분을 만족시키지 않으면 </ i> 비교할 수 있습니다.

— Michaël Cadilhac