구성 불가능한 기능 및 비정상 결과

Arora-Barak 책에서 시간 구성 가능 함수의 정의에서 시간 구성 가능하지 않은 함수를 사용하면 "비정상적인 결과"를 초래할 수 있다고합니다. 누구든지 그러한 "이상적인 결과"의 예를 가지고 있습니까? 특히 시간 계층 정리가 유지하지 않는 함수가있을 수 있다고 들었습니다. 누구나 그러한 함수의 예가 있습니까? 문학 어딘가에 이것에 관한 것이 있습니까?

Borodin 's Gap Theorem : 계산 가능한 모든 함수 에 대해 과 같은 계산 가능한 함수 있습니다.$g(n) \geq n$$t$$DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$

실제로 이것은 대신 Blum 복잡성 측정에 적용됩니다 .$DTIME$

위키 백과 페이지 및 참고 문헌 도 참조하십시오 .

Wikipedia 기사가 증거를 제공하지 않고 논문이 ACM DL에 있기 때문에 여기에 증거를 게시하는 것이 도움이 될 것이라고 생각했습니다.

정리 3.7. (갭 정리).

허락하다 $\Phi$ 복잡성 척도 $g$ 비 감소 재귀 함수 $\forall x, g(x) \geq x$. 그런 다음 재귀 함수가 증가합니다.$t$ 복잡한 측정 기능을 계산할 수있는 기능 $t$ 복잡도 측정으로 계산할 수있는 함수와 동일 $g\circ t$.

증명.

밝히다 $t$ 다음과 같이 :

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. 모든 $n$, 이있다 $k$모두를 위해 $i \leq n$:

   ㅏ. 만약$\Phi_i(n)$ 정의되지 않은 $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$,

   비. 만약 $\Phi_i(n)$ 그때 정의 $\exists k, \Phi_i(n) < k$.

2. $k$ 재귀 적으로 찾을 수 있기 때문에 $\Phi$ 복잡성 측정이므로 $\Phi_i(n) <k$ 과 $\Phi_i(n) > g(k)$ 재귀 술어입니다.

3. $t$ 정리를 만족시킨다. $n \geq i$ 암시 $\Phi_i(n) < t(n)$ 또는 $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$.

QED.

우리는 임의로 큰 $t$정리 3.7을 만족시키는 것으로 밝혀졌다. 우리가 원한다고 가정하자$t(n) > r(n)$그런 다음 정의

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(Allan Borodin, JACM 1972, "계산적 복잡성 및 복잡성 차이의 존재 "에서 약간 수정)