랜덤 보행에 대한 기술적 질문

(원래의 질문은 여전히 ​​답변되지 않았습니다. 추가 설명을 추가했습니다.)

임의의 보행을 Markov 체인으로보고 임의의 보행 (무 방향 그래프)을 분석 할 때 Markov 체인의 기본 정리가 적용되도록 그래프를이 분할 필요가 없습니다.

그래프 가 대신 이분 이면 어떻게됩니까 ? 나는 특히 타격 시간에 관심이 사이의 가장자리가, 하고 의 . 이분 그래프 에 모서리 가 있다고 가정합니다 . 그래프에서 임의의 꼭짓점에 자체 루프를 추가하여 결과 그래프 이 분이 아닌 것으로 만들 수 있습니다 . Markov 사슬의 기본 정리를 적용하면 우리는 in$G$$h_{i,j}$$i$$j$$G$$G$$m$$G'$$G'$$h_{i,j} < 2m+1$$G'$ ,이 또한 명확 상위 행입니다$h_{i,j}$ 에 $G$.

질문 : 더 강력한 주장이 사실입니까? $h_{i,j} < 2m$ 보유 $G$? (2SAT에 대한 랜덤 워크 알고리즘 분석에서 이것이 주장 된 것을 보았습니다.) 또는 우리는 자기 루프를 추가하는이 추가 단계를 실제로 거쳐야합니까?

이 답변은 질문자가 실제로 관심을 가진 것과는 다른 것을 증명했습니다. 여기에 남겨두면 다른 사람들도 같은 실수를 반복하지 않습니다.

대부분의 경우, 커플 링 인수에 의해 "자기 루프는 보행 속도를 늦출 수만있다"는 직관적 인 개념을 공식적으로 정당화 할 수 있습니다. 예를 들어,이 경우, 걷기를 자체 루프와 결합 할 수 있습니다 (호출하자).$A$) 및 자체 루프가없는 것 ( $B$) 그래서 $A$얻어 동일한 같은 단계를$B$, 시간이 지연되었습니다. 예를 들어 다음과 같이 수행 할 수 있습니다.$B$ 시작 $u = x_0$ 그리고 통과 $x_i: i =1,2,\ldots,k$. 이제 우리는 구현합니다$A$ 다음과 같이 : $A$ 또한 같은 정점을 통과합니다 $B$그 정점을 제외하고 $x_i$, 그것은 Geometric ($p_i$) 시간 $p_i$ 자기 루프 확률은 $x_i$. 이것은 올바른 구현입니다$A$ (모든 전이 확률이 정확함) 커플 링의 형태는 $A$ 정점에 도달하지 않습니다 $B$즉, 우리는 $H_t^A$ 과 $H_t^B$ (두 산책에서 무작위 타격 시간) $H_t^A \geq H_t^B$ 확률로 $1$. 따라서 예상되는 타격 시간의 불평등은 다음과 같습니다.

나는 이것을 이전에 의견으로 게시했으며, 그것이 긍정적 인 경우에 user686의 수정 된 질문에 대한 답변이라고 생각합니다 ( $i$ 과 $j$ 그래프에서 가장자리로 연결 $G$ (이분인지 여부에 관계없이) $h(i,j)$의 예상 타격 시간 $i$ 에 $j$ 만족시키다 $h(i,j) < 2m$.)

또한 원래 편집되지 않은 버전에서는 질문에 $i$ 과 $j$ 인접 답변이므로 이전 답변은 원래 질문과 관련이 있지만 새로운 편집 버전과는 관련이 없습니다.

만약 $i$ 과 $j$ 출퇴근 시간이 인접 해 있습니다 $C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$, 어디 $R(i,j)$ 사이에 효과적인 저항 $i$ 과 $j$ G에서 최대 $1$ (이후 $i$ 과 $j$가장자리로 연결되어 있습니다). 이것은$h(i,j)<2m$ 언제 $i$ 과 $j$ ~에 인접 해있다 $G$, 둘 다 $h(i,j)$ 과 $h(j,i)$ 엄격하게 긍정적입니다.

정체성 $C(i,j) = 2mR(i,j)$ 임의의 정점을 유지 $i$ 과 $j$. 예를 들어 Lyons and Peres 의 책 에 증거가 나타납니다 .

@ user686 죄송합니다. 이전 답변에 대해서는 걱정하지 않으 셨습니다 $2m+1$ vs $2m$. 그러나이 경우에 자기 루프를 추가 만하면 주장이 사실이라고 생각하지 않습니다.$j$. 에서 시작하는 무작위 산책$i$ 둘 다의 경우 $G'$ 그리고 $G$ 그들이 걸릴 수 있도록 결합 될 수있다 $same$ 그들이 도달 할 때까지 동시에 걸음 $j$. 이것은$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$따라서 예상되는 타격 시간은 동일해야합니다.

또한, 경계 이후 $h_{i,j} < 2m+1$ 일반적으로 정확하지 않습니다 (경로 $m$ 노드, $h_{i,j}$ 만큼 클 수 있습니다 $\Theta(m^2)$), 그래프가 특별합니까?

추신 : 나는 당신의 주요 관심사를 해결하지 못하는 것처럼 보이기 때문에 이전 답변을 업데이트했습니다.