주어진 회로가 순열을 계산 하는지 결정

입력 비트와 출력 비트를 가진 회로가 의 순열을 계산 하는지 여부를 결정하는 것은 어떤 복잡성 입니까? 다시 말해, 에있는 모든 비트 열이 어떤 입력에 대한 회로의 출력인지 아닌가? 연구 된 문제처럼 보이지만 참조를 찾을 수 없습니다. nn{0,1 } n {0,1 } $\mathsf{NC}^0$$n$$n$$\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$

경도

질문에 대한 귀하의 의견에 따라, 각 출력 비트가 최대 k 개의 입력 비트에“NC ⁰ _k 회로 ” 에 의존하는 회로를 호출합니다 .이 용어를 사용하면 NC ⁰ ₅ 회로의 경우 문제가 coNP- 완전 합니다. 즉, 다음과 같은 문제는 coNP-complete입니다.

예 : 부울 회로 C 와 N 개의 입력 비트들과 n은 각각의 출력 비트가 최대 다섯 개의 입력 비트에 따라 출력 비트.
질문 : {0,1} ⁿ 에서 자체로 의 매핑 이 C bijective에 의해 계산 됩니까?

Kaveh가 언급했듯이 각 출력 비트가 의존하는 입력 비트 수에 제한이 없더라도 coNP로 명확하게 나타납니다. coNP- 경도를 증명하기 위해 현재 문제의 보완으로 3SAT를 줄입니다. 축소에 대한 핵심 아이디어는 Durand의 논문 [Dur94]에 사용 된 것과 동일하지만 질문에 대한 의견에서 언급했지만 전체 축소는 훨씬 간단합니다.

n 개의 변수와 m 개의 절이 있는 3CNF 공식 φ 가 주어지면 다음 과 같이 ( n + m ) 입력 비트와 ( n + m ) 출력 비트로 부울 회로 C 를 구성 합니다. 입력 비트는 x ₁ ,…, x _n , y ₁ ,…, y _m으로 , 출력 비트는 x ′ ₁ ,…, x ′ _n , z ₁ ,…, z _m 으로 레이블을 지정합니다 . 우리는 입력 비트 x₁ ,…, x _n 은 φ 의 n 변수에 대한 진리 할당을 지정합니다 .

• 1 ≤ i ≤ n의 경우 x ' _i = x _i 입니다 . 즉, 첫 번째 n 비트 입력은 항상 첫 번째 n 비트 출력으로 복사됩니다 .
• 1≤ i ≤ m 의 경우, φ 의 i 번째 절이 충족되면 z _i = y _i ⊕ y _{i +1} 이며 아래 첨자는 modulo m 으로 해석 됩니다. 그렇지 않으면 z _i = y _i 입니다.

각 출력 비트는 최대 5 개의 입력 비트에 의존합니다. I의 감소의 정확성을 증명을 생략하지만, 핵심 아이디어 (I는 [Dur94]에서 차용) 경우이다 φ가 만족할 수 있으며, 입력 비트 (X) ₍₁₎ , ..., X가 _N 을 만족 과제로 설정 φ 이어서, m 출력 비트 Z ₁ , ..., Z _m은 짝수 패리티를 갖도록 제한되고, 따라서 회로는 치환되지 않을 수있다. 한편, 입력 비트 x ₁ ,…, x _n 이 만족스럽지 않은 φ 할당으로 설정되면 출력 비트 z₁ ,…, z _m 은 무엇이든 설정할 수 있습니다. 이 때문에 φ 가 만족스럽지 않으면 회로는 순열입니다.

추적 성

다루기 쉬운면에서는 NC ⁰ ₂ 회로의 경우 P에 문제가 있습니다. 이것은 다음과 같이 표시됩니다. 일반적으로 순열에 대한 부울 회로의 각 출력 비트는 균형을 이룹니다 . 즉, 입력 문자열의 정확히 절반이 출력 비트를 1로 설정합니다. 그러나 {0,1} ² 에서 {0,1}까지의 모든 균형 부울 함수 는 affine입니다 . 즉, 단일 입력 비트의 사본, 두 입력 비트의 XOR 또는 이들의 부정. 따라서 먼저 각 출력 비트가 균형을 이루고 있는지 확인한 다음 가우시안 제거로 bijectivity를 확인할 수 있습니다.

NC ⁰ ₃ 회로 또는 NC ⁰ ₄ 회로 의 경우 복잡성을 모릅니다 .

참고 문헌

브루노 듀랑. 2D 셀룰러 오토마타의 반전 : 일부 복잡한 결과. 이론적 컴퓨터 과학 , 134 (2) : 387–401, 1994 년 11 월. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 .