P를 많이 캡처하는 유도가없는 논리가 있습니까?

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Immerman-Vardi 정리 PTIME (또는 P)를 정렬 구조의 클래스 위에 고정 소수점 연산자와 함께 일차 로직 문장에 의해 설명 될 수 언어의 클래스가 정확하게 중임. 고정 소수점 연산자는 최소 고정 소수점 (Immerman 및 Vardi에서 고려한대로)이거나 인플레이션 고정 소수점 일 수 있습니다. (Stephan Kreutzer, 최소 및 인플레이션 고정 소수점 논리의 표현 적 동등성 , 순수 및 응용 논리의 연체 130 61–78, 2004).

유리 구레 비치는 PTIME ( 논리와 컴퓨터 과학의 도전 , 이론적 컴퓨터 과학, ed. Egon Boerger, 1-57, Computer Science Press, 1988)을 포착하는 논리는 없다고 마틴 그로 헤는 자신이 덜 확실합니다 ( Logic CSturing PTIME , FOCS 2008).

고정 소수점 연산자는 재귀의 힘을 포착하기위한 것입니다. 고정 소수점은 강력하지만 필요한 점은 분명하지 않습니다.

FOL + X가 (큰) PTIME 조각을 캡처하도록 고정 소수점을 기반으로하지 않는 연산자 X가 있습니까?

편집 : 내가 이해하는 한, 선형 논리는 매우 제한적인 형태의 구조에 대한 진술 만 표현할 수 있습니다. 이상적으로는 고정 소수점을 피하면서 임의의 관계형 구조 집합의 속성을 표현할 수있는 논리에 대한 참조 또는 스케치를보고 싶습니다. 선형 논리의 표현력에 대해 틀렸다면 포인터 나 힌트를 환영합니다.

— 안드라 살 라몬
소스

2

"논리적"이라는 용어는 Grohe가 의미하는 바를 의미합니다. 어휘에 대한 결정 가능한 문장 세트와 유한 구조와 문장 사이의 관계는 "동일한 모델"입니다. .

— András Salamon

PTIME 을 캡처하는 로직이 있는지에 대한 질문은 cstheory.stackexchange.com/questions/174/… 도 참조하십시오 .

— András Salamon

선형 로직은이다 명제 고전적인 명제 논리가 포함되어 논리. 수량자를 허용하도록 확장 할 수 있습니다. 그러나 선형 논리 (제안)와 복잡성 클래스 간의 관계가 Grohe가 생각한 것과 다른 점을 올바르게 기억한다면 최소한 선형 구조를 유한 구조의 쿼리와 연관시키는 방법을 알 수 없습니다.

— Kaveh

Terui의 Light Affine Set Theory와 같은 선형 논리를 기반으로 한 세트 이론이 있습니다.이 이론에는 함수가 다항식 시간으로 계산 가능한 경우에만 함수가 총계로 입증 될 수있는 특성이 있습니다. 참조 citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.99.730

— 닐 Krishnaswami

1

Kaveh, 이것이 슬림 톤에 현상금을 수여 한 이유입니다. 더 자세한 답변은 여전히 좋을 것입니다.

— András Salamon

23

당신은 어떤 사람들이 Grädel의 정리라고 부르는 것을 살펴보고 싶습니다. Papadimitriou의 저서 "전산 복잡성"(176 페이지의 정리 8.4)이나 Grädel의 원본 논문 에서 찾을 수 있습니다.

(\exists R) (\forall x) (ϕ)

$(\exists R)(\forall x)(\phi)$

R

$R$

x

$x$

ϕ

$\phi$

R

$R$

R

$R$

— 슬림 톤
소스

3

죄송합니다. 귀하의 질문을 다시 읽었으므로 이전 버전과 조금 다릅니다. 이제 FOL + X가 P의 큰 조각을 캡처하도록 연산자 X를 요청합니다.이 경우 Dawar 의 <a href=" logcom.oxfordjournals.org/content/5/2/…>를 살펴 봐야 합니다. P에 대한 논리가 있다면, 일반화 된 정량

— 자로

3

나체 구조에서 존재하는 2 차 논리의 혼-조각은 다소 약하다. 즉 나체 구조에서 LFP의 적절한 서브 세트. 우리는 Grädel의 정리를 얻기 위해 후임자가 필요합니다. Dawar의 결과는 나체 구조에 대한 것입니다.

— slimton

8

내가 이해하는 한, 선형 논리는 매우 제한적인 형태의 구조에 대한 진술 만 표현할 수 있습니다. 이상적으로는 고정 소수점을 피하면서 임의의 관계형 구조 집합의 속성을 표현할 수있는 논리에 대한 참조 또는 스케치를보고 싶습니다. 선형 논리의 표현력에 대해 틀렸다면 포인터 나 힌트를 환영합니다.

모든 잘못된 정류 일산 격자는 선형 논리의 모델입니다. 유한 그래프에서 이러한 격자를 만드는 쉬운 방법이 있습니다. 세트로 시작

M = {(g, n) | g is a finite graph and n \subseteq n o d e s (g)}

$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$

$(g,n) \models \phi$ $n$ $\phi$ $(\cdot) : M \times M \to M$

(g, n) \cdot (g^{'}, n^{'}) = {\begin{cases} (g, n ⊎ n^{'}) & when g = g^{'} \land n \cap n^{'} = \emptyset \\ u n d e f i n e d & otherwise \end{cases}

$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$

그래프가 같고 소유 한 세트가 분리 된 경우 고유 세트를 병합하여 두 요소를 결합합니다.

이제 다음과 같이 선형 논리 모델을 제공 할 수 있습니다.

\begin{array}{lcl} (g, n) ⊨ I & ⟺ & n = \emptyset \\ (g, n) ⊨ ϕ \otimes ψ & ⟺ & \exists n_{1}, n_{2} . n = n_{1} ⊎ n_{2} and (g, n_{1}) ⊨ ϕ and (g, n_{2}) ⊨ ψ \\ (g, n) ⊨ ϕ ⊸ ψ & ⟺ & \forall n^{'} . if n \cap n^{'} = \emptyset and (g, n^{'}) ⊨ ϕ then (g, n ⊎ n^{'}) ⊨ ψ \\ (g, n) ⊨ ⊤ & ⟺ & always \\ (g, n) ⊨ ϕ \land ψ & ⟺ & (g, n) ⊨ ϕ and (g, n) ⊨ ψ \end{array}

$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$

이 모델은 실제로 분리 논리에 사용되는 모델의 변형으로, 힙 조작 프로그램의 검증에 널리 사용됩니다. (원하는 경우 그래프를 힙의 포인터 구조로 생각하면 유추가 정확합니다!)

그러나 이것은 선형 논리에 대해 생각하는 올바른 방법이 아닙니다. 실제 직관은 증명 이론적이며 복잡성에 대한 연결은 절제 정리 이론의 계산 복잡성을 통해 발생합니다. 선형 논리의 모델 이론은 증명 이론에 의해 생긴 그림자입니다.

— 닐 크리슈나 스와미
소스

위 모델에서 그래프 구조는 어떤 역할을합니까? 위의 정의는 g가 이산 그래프에 걸쳐 있다고 말하면 잘 작동하는 것 같습니다.

— Charles Stewart

BI / 선형 논리의 모델을 제공하기 위해 (일부) 정류 적 monoid를 사용할 수 있기 때문에 그래프 구조는 및 연결 을 해석하는 데 사용되지 않으며 원자 제안에만 중요합니다. 예를 들어, 분리 논리에는 "points-to"원자 명제 이 있으며, 포인터 구조를 사용하여 해석합니다.

\otimes

$\otimes$

⊸

$\multimap$

n \mapsto n^{'}

$n \mapsto n'$

— Neel Krishnaswami

8

PTIME을 캡처하는 로직 검색에 관한 최근 흥미로운 결과가 있습니다. CAI, Fürer 및 Immerman 의 유명한 예 는 LFP + C가 PTIME을 캡처하지 않음을 보여주는 것으로 보이지만 인공적인 클래스의 그래프를 기반으로합니다. 물론 LFP + C의 제한을 보여주는 특정 작업을 위해 구성되었습니다. 최근에는 Dawar 에 의해 수업이 전혀 인공적이지 않다는 것이 밝혀졌습니다 . 오히려 LFP + C가 선형 방정식 시스템을 해결할 수 없다는 사실의 예로 볼 수 있습니다!

따라서 Dawar, Grohe, Holm 및 Laubner 는 선형 대수 연산자, 예를 들어 연산자가 정의 가능한 행렬의 순위를 정의하여 논리를 확장했습니다. 결과 논리 LFP + rank는 LFP + C보다 엄격하게 표현할 수 있습니다. 실제로 LFP + rank가 표현할 수없는 알려진 PTIME 속성은 없습니다.

FO + rk조차 놀라 울 정도로 강력하며, 결정적이고 대칭적인 전이 폐쇄를 표현할 수 있습니다. 그래프의 일반적인 전이 폐쇄를 표현할 수 있는지 여부는 여전히 열려 있습니다.

— 세바스티안시 베르 츠
소스

1

Anderson / Dawar / Holm은 최근에 FP + C가 선형 프로그래밍을 표현할 수 있음을 보여주었습니다 ( arxiv.org/abs/1304.6870 ). 이것은 "FP + C가 선형 방정식 시스템을 풀 수 없습니다"라는 라인을 따라 Dawar의 초기 결과에 대한 해석을 손상시킵니다. Dawar는 주장 일부 그가 의미 순위 계산을 갖고있는 것 같아요있는 '선형 방정식의 시스템을 포함하는 자연 문제는이 논리가 정의 할 수 없습니다. "

— András Salamon

7

"캡처"의 의미에 따라 Yves Lafont의 Soft Linear Logic 및 Polynomial Time 이 유용 할 수 있습니다. 이 논리 및 PTIME 알고리즘의 증명에는 문자열을 입력 및 출력 0 또는 1로 사용하는 1-1 대응이 있습니다.

Linear Logic에 관한 Wikipedia 기사는 여기에 있습니다 . 수정 점 논리가 아닙니다. " 부울 대수 대신 대수에 대한 고전적인 논리"의 직관은 내가 이해하기 가장 쉬운 방법입니다. $C^*$

— 아론 스털링
소스

1

András는 복잡한 설명의 의미에서 논리를 원한다고 생각합니다.

— Kaveh

7

Linear Logic 정맥 에서이 문제에 대한 오래된 작품은 Jean-Yves Girard, Andre Scedrov 및 Philip Scott입니다. 경계 선형 논리 : 다항식 시간 계산에 대한 모듈 식 접근 방식. 이론적 컴퓨터 과학, 97 (1) : 1–66, 1992.

보다 최근에는 Ugo Dal Lago와 Martin Hofmann이 재검토 한 Bounded Linear Logic이 있습니다.

— 데이브 클라크
소스