대칭성과 계산적 난 도성의 관계?

- 고정 점 자유 동형 문제 그래프 동형 적어도 이동 요청 K ( N ) 노드. 문제는 c > 0에 대해 k ( n ) = n c 인 경우 N P-완료 입니다.$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

그러나, 다음 문제는 그래프 동형 문제에 환원 튜링 다항식 시간이다. 만약 K ( N ) = O ( 로그 N / 로그 로그 N ) 그 문제에 그래프 동형 문제에 튜링 상당 다항식 시간 N P I 될 알려지지 않음 N P의 - 완전한이. Graph Automorphism 문제는 Graph Isomorphism 문제로 환원 될 수 있습니다.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

그래프 자동 변형에 의해 이동 된 정점 수 계산의 복잡성, Antoni Lozano 및 Vijay Raghavan 소프트웨어 기술 기초, LNCS 1530, 295–306 페이지

우리가 찾고자하는 물체의 대칭성을 증가 시키면 계산 경도가 증가하는 것으로 보입니다 (자형에 의해 움직여야하는 노드의 수로 나타남). 이것은 다항식 시간이 부족한 것으로 설명 할 수 있습니다. NP- 완료 버전에서 그래프 자동 형성 (GA)으로 튜링 감소

대칭과 경도 사이의 이러한 관계를 지원하는 어려운 문제의 또 다른 예가 있습니까?

이것은 대칭과 경도의 "동일한"관계가 아니지만 부울 함수의 대칭과 회로 복잡도 사이에는 밀접한 관계가 있습니다. 보다:

Babai, L., Beals, R. 및 Takácsi-Nagy, P. 대칭 및 복잡성 , STOC 1992.

그들이 보여주는 것은 다음과 같습니다. 를 순열 그룹의 시퀀스라고 하자 . 하자 S ( G 전 ) 의 궤도의 개수 나타내고 G I을 에 그 유도 작용에 { 0 , 1 } I (좌표의 치환에 의해). 하자 F ( G는 ) 언어의 클래스를 나타내는 L 되도록 L ∩ { 0 , 1 } , n은 아래에서 불변 G N을 . 그런 다음 F의 모든 언어$G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ 는 최대 p o l y ( s ( G ) )의 크기 와 최대 p o l y ( log ( s ( G ) )) 의 깊이를갖는 회로를 가지며, 이것은 본질적으로 타이트하다.$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV 그룹 정의 언어의 계산 복잡성 . 이론. 계산. 공상 과학 242 (2000), no. 1-2, 199--218.

$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$$NP$$PP$

$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

마지막으로, Mulmuley-Sohoni Geomectric Complexity Theory 프로그램은 대칭성을 사용하여 경도를 증명하는 것에 관한 것이지만, 대칭-경도 연결은 더 미묘하고 덜 직접적입니다.

많은 대칭을 나타내는 구조화 된 SAT 인스턴스는 임의의 SAT 인스턴스보다 해결하기가 더 쉽습니다. 실제 문제를 SAT로 인코딩하면 항상 구조화 된 인스턴스가 발생합니다 (실제로 발생하는 실제 문제에 대칭이 있기 때문에 놀라운 것은 아닙니다). 가장 완벽한 SAT 솔버는 1,000,000 개의 변수로 실제 인스턴스를 효율적으로 해결할 수 있지만, 아는 한 10,000 개의 변수를 사용하여 랜덤 인스턴스를 효율적으로 해결할 수는 없습니다 ( Edward A. Hirsch에서) 홈페이지를 통해 놀랍도록 작은 랜덤 인스턴스를 찾을 수 있으며, 그 중 가장 완벽한 SAT 솔버조차 고착 될 수 있습니다). 따라서, 경험적인 관점에서, 대칭의 존재는 경도를 감소시키는 것으로 보인다.