과반수 투표에 가장 적합한 근사값은 무엇입니까?

과반수 투표 작업은 내결함성 (그리고 다른 장소에서도 의심 할 여지없이)에서 상당히 자주 발생하며, 여기서 함수는 입력 비트 값에서 가장 자주 나타나는 값과 같은 비트를 출력합니다. 간단히하기 위해 입력에 상태 0과 상태 1에서 같은 수의 비트가 포함될 때마다 0을 출력한다고 가정합니다.

이것은 입력에서 가장 빈번하게 발생하는 값을 반환하고 타이의 경우 사전 사전에 가장 빈번한 값을 반환함으로써 각 입력에 대해 2 개 이상의 가능성이있는 곳으로 일반화 될 수 있습니다. 이 기능을 "복수 투표"라고합니다.

각 입력에 고정 확률 분포가있을 때 (그리고 분포가 입력의 각 dit에 대해 동일 할 때) 그러한 함수의 출력에 관심이 있습니다. 특히 다음 질문에 관심이 있습니다.

세트 주어 $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ , 집합이 독립적으로 무작위로 $N$ 번 샘플링 되면, 매번 의 요소를 선택할 확률 와 함께 , 의 고정 된 선택에 대해, 이들 출력의 복수 투표 의 확률은 얼마 인가 ? $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

이제 다항식 분포에 대한 합계로 위의 질문에 대한 정확한 답을 계산하는 것이 간단합니다. 그러나 내 목적으로는 이것이 이상적이지 않으며 근사에 대한 폐쇄가 더 좋습니다. 그래서 내 질문은 :

위의 확률에 대한 닫힌 형태의 근사값은 정확한 값과 최대 거리에 가장 밀접한 관계가 있습니까?

co.combinatorics

— 조 피츠 시몬스
소스

모르겠지만 "제어 이론 합의"또는 "제어 이론 합의 문제"라는 검색 문구를 제안합니다. 분산 컴퓨팅 합의 문제와 다른 문제이며 필요한 것일 수도 있습니다.

— Aaron Sterling

N이 n에 비해 클 때 잘 작동하는 근사치를 찾고 있습니까? 그렇다면 동점 규칙은 관련이 없어야합니다.

— 이토 쓰요시

@TsuyoshiIto : 그렇습니다. 실제로 그 규칙은 관련이 없지만 질문이 제대로 제기되었는지 확인하고 싶었습니다. 나는 그 불일치를 구속하기 쉽기 때문에 관계가 어떻게 깨지는 지 신경 쓰지 않습니다.

— Joe Fitzsimons

글쎄, 여기에 봉투 추정치가 있습니다 ...

세트

를 선택한 횟수로

. 이항 변수입니다. 그들은 독립적 인 척합니다. 이제 고정 값

의 경우이 값의

를 얻을 확률을 계산할 수 있으며이 값의 경우 다른 모든 변수에 대해 이길 확률을 계산할 수 있습니다. 이것은 확률에 꽤 좋은 한계를 제공해야합니다. 물론 가장 엄격하지는 않습니다. 더 많은 의존성을 고려할수록 추정치가 더 정확 해지지 만 더 많은 계산이 필요합니다.

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— Sariel Har

만약 모든 , 다음 $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [outcome is different from v] \leq min_{T} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall i \neq v B (N, p_{i}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

여기서 는 이항 분포이고 는 임의의 임계 값입니다. 플러깅 $B(n, p)$ $T$ 및 사용 Chernoff 경계는 하나는 확률이 상한선 수있는 . $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

물론, 가 최대가 아닌 경우 반대 그림이 나타납니다. 압도적 인 확률로 는 결과가 아닙니다. $p_v$ $v$

— 일리 아즈
소스

문제에 대해 생각해 주셔서 감사합니다. 그러나 이것은 내가 찾고있는 것이 아닙니다. 닫힌 양식이 아닙니다. 나는 무한한 수의 지수를 합산해야합니다. 나는 정확한 솔루션을 작성하는 방법을 이미 알고 있으며 개별 용어에 대한 많은 근사치를 알고 있지만 그것이 내가 원하는 것은 아닙니다. 개별 용어가 아닌 솔루션에 대한 닫힌 양식 근사치를 찾고 있습니다. 또한 오류에 대한 적절한 경계가 필요합니다.

— 조 피츠 시몬스

동일한 방법을 사용하여 닫힌 양식을 얻을 수 있습니다 (추가 요인

만족하는 경우 ). 그리고 오류를 좁히기 위해 Chernoff 바운드 대신 Berry-Eseen 정리를 사용할 수 있습니다.

n

$n$

— ilyaraz

@ilyaraz 나는 당신의 첫 번째 불만을 이해하려고 노력하고 있습니다. 왜 보유하고 있는지 더 잘 설명해 주시겠습니까? 나는 당신이 어떤 방식으로 유니온 바운드를 사용했다고 생각하지만 이해할 수 없습니다. 감사 :)

— AntonioFa