모노톤 산술 회로

에 대한 우리의 지식의 상태 일반적인 연산 회로 , 즉 우리가 좋은 낮은 경계가없는 부울 회로에 대한 우리의 지식의 상태와 비슷한 것 같다. 반면에 우리는 모노톤 부울 회로에 대한 지수 크기 하한을 가지고 있습니다 .

모노톤 산술 회로 에 대해 무엇을 알고 있습니까? 우리는 그들과 비슷한 좋은 하한을 가지고 있습니까? 그렇지 않다면, 모노톤 산술 회로에 대해 유사한 하한값을 얻을 수없는 근본적인 차이점은 무엇입니까?

질문은 이 질문에 대한 의견에서 영감을 얻었습니다 .

모노톤 산술 회로의 하한 은 취소를 금지 하기 때문에 더 쉽습니다 . 반면에, 우리는 어떤 모노톤 경우에도 부울 함수를 계산 회로 지수 하한 증명할 수있는 실수 기능 게이트로 사용할 수 있습니다 (예 : 분파 참조 9.6. 책 ).$g:R\times R\to R$

모노톤 산술 회로가 모노톤 부울 회로 보다 약 하지만 (후자는 및 ) 취소 되지만 이러한 회로는 동적 프로그래밍 과의 관계 때문에 흥미 롭습니다 ( DP) 알고리즘. 이러한 알고리즘의 대부분은 반링 또는 통한 회로로 시뮬레이션 할 수 있습니다.a ∨ ( a ∧ b ) = $a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$( + , 최대 $(+,\min)$$(+,\max)$. 그런 다음 게이트는 알고리즘에서 사용하는 하위 문제에 해당합니다. Jerrum과 Snir (V Vinay의 논문에서)이 실제로 증명하는 것은 Min Weight Perfect Matching (및 TSP 문제)에 대한 DP 알고리즘이 기하 급수적으로 많은 하위 문제를 생성해야한다는 것입니다. 그러나 Perfect Mathching 문제는 "DP flawor"가 아닙니다 ( Bellman의 최적의 원리를 충족시키지 못함 ). DP가 아닌 선형 프로그래밍이이 문제에 훨씬 더 적합합니다.

합리적으로 작은 DP 알고리즘으로 해결할 수 있는 최적화 문제는 어떻습니까? 아주이 점에서 흥미로운 것은 (자신의 정리 6.1 커 이전 결과 박사 ). APSP (All-Pairs Shortest Paths) 문제에 대한 기존의 Floyd-Warshall DP 알고리즘이 최적 임을 나타냅니다 . 하위 문제가 필요합니다. 더 흥미로운 것은 Kerr의 주장이 매우 간단하다는 것입니다 (Jerrum과 Snir보다 훨씬 간단합니다) : 그것은 단지 분산 공리 및 그것의 인수 중 하나에 의해 설정하는 "킬"최소 게이트 가능성 .This 방법은 그 증명a + min ( b , c ) = min ( a , b ) + min ( a , c ) 0 n 3 n × n ( + , 최소 $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$더하기 게이트는 반올림 두 개의 행렬 을 곱하는 데 필요합니다 . Sect. 5.9 , Aho, Hopcroft 및 Ullman 의 책 에서이 문제는 APSP 문제와 동일 함을 보여줍니다.$n\times n$$(+,\min)$

다음 질문은 SSSP (Single-Source Shortest Paths) 문제는 어떻습니까? 이 문제에 대한 Bellman-Ford DP 알고리즘 ( "단순") 문제도 게이트를 사용합니다. 이것이 최적입니까? 지금까지 가장 짧은 경로 문제의 두 버전 사이의 분리는 알려져 있지 않습니다. 이 라인을 따라 버지니아와 라이언 윌리엄스 의 흥미로운 논문 을 보십시오 . 따라서 SSSP에 대한 회로 의 하한 은 큰 결과입니다. 다음 질문은 배낭의 하한은 어떻습니까? 이러한면에서 초안 배낭에 대한 하한이 약한 모델에서 입증된다 의 회로를 사용Ω ( n 3 ) ( + , min ) ( + , 최대 ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-게이트가 제한됩니다. 부록 Kerr의 증거가 재현됩니다.

예. 우리는 좋은 하한을 알고 있으며 꽤 오랫동안 알고 있습니다.

Jerrum과 Snir는 1980 년까지 모노톤 산술 회로에 대한 지수 하한을 증명 했다. Valiant는 단일 마이너스 게이트조차도 기하 급수적으로 더 강력 하다는 것을 보여 주었다 .

(모노톤) 산술 회로에 대한 자세한 내용은 산술 회로에 대한 Shpilka의 설문 조사 를 확인하십시오 .

내가 아는 또 다른 결과는 Arvind, Joglekar 및 Srinivasan에 의한 것입니다 -선형 크기의 너비 모노톤 산술 회로로 계산 가능한 명시 적 다항식을 제시 하지만 너비 모노톤 산술 회로는 지수 크기를 갖습니다 .$2k$$k$

기본 범위 검색 문제 (오프라인 설정)에 대한 Chazelle의 세미 그룹 하한 입니다. 모든 하한은 거의 최적입니다 (하한이 다항식 인 경우 최대 로그 항, 하한이 다항식 인 경우 로그 로그 항까지).