노드에서 "로컬 균일 한"총 차수를 갖는 규칙적인 고밀도 그래프

정의

하자 및하자 D , R을 , 그리고 g는 (양의 정수로 할 g > 2 , R + 1 ).$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

하자 , 간단한 일 거라고 적어도 둘레와 정규적인, 방향성이 유한 그래프 g .$G = (V,E)$$d$$g$

하자 에 전체 순서 수 V .$\le$$V$

각 ,하자 V V ⊆ V 거리 내에있는 노드로 구성 R 에서 V 에서 G (최단 경로 V 어느 U ∈ V의 V는 기껏 갖는 R의 에지)과하게 G의 (V)가 서브 그래프 될 의 G 에 의해 유도되는 V의 V . 우리는 G의 둘레가 크다고 가정했다는 것을 기억하십시오 . 그러므로 G v 는 나무입니다. 하자 ≤ V 의 제한 될 ≤ 에$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$ .$V_v$

( G u , ≤ u ) 및 ( G v , ≤ v ) 가 동형 인 경우 모서리 가 좋다고 합니다 . 즉, 인접성 ( { x , y } ∈ E iff { f ( x ) , f ( y ) 을 보존 하는 bijection f : V u → V v 가 있습니다.$\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$ ) 및 순서 ( x ≤ y iff f ( x ) ≤ f ( y ) ). 그렇지 않으면 가장자리가나쁘다.$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

우리는 말 입니다 ε - 좋은 이상이있는 경우 ( 1 - ε ) | 전자 | 좋은 가장자리.$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

질문

이라고하자 . 이 생길 존재 ε 굿 쌍 ( G를 , ≤ ) 임의 위해 ε > 0 및 R 및 g (와 R « g )?$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

비고 :

• 일반 대한 답을 알고 싶지만 d = 4 는 첫 번째 사소한 경우입니다.$d$$d = 4$

• 유한 한 의 크기는 중요하지 않습니다. 나는 G 의 구성이 필요하지 않습니다 . 단지 존재 또는 존재하지 않는 것으로 충분합니다.$G$$G$

예

• 경우 , 대답은 "예"입니다. 우리는 단순히 충분히 긴주기를 취할 수 있고주기를 따라 노드를 정렬 할 수 있습니다. 가장 큰 노드와 가장 작은 노드를 연결하는 가장자리 근처에 잘못된 가장자리가 있지만 다른 모든 가장자리가 좋습니다. 거의 모든 노드 v 에 대해 쌍 ( G v , ≤ v ) 은 2 r + 1 노드가 있는 경로입니다 . 증가하는 순서.$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• 경우 , 대답은 "예"입니다. 규칙적인 고밀도 그래프 만 가져 가십시오.$r = 0$

• 경우 충분히 작은 대답은 짝수 용 "예"인 D . 그냥 걸릴 ( D / 2 ) 차원 격자 그래프 (수 있도록 감싸 경계와는 거라고 자신의 좌표로 노드 사전 식 - 정규), 주문을. 다시 우리는 그리드의 경계 근처에 약간의 가장자리가 있지만, 잘못된 가장자리의 수를 임의로 줄일 수 있습니다.$g$$d$$(d/2)$$d$

• 경우 유한 일 필요는 없다, 대답은 짝수은 "예"입니다 라 . 규칙적인 무한 트리는 모든 순서가 양호하도록 전체 순서를 갖습니다.$G$$d$

• 경우 홀수이고 R이 충분히 크고, 그 답은 "아니오"이다. 본질적으로 Naor & Stockmeyer (1995) 는 모든 노드가 적어도 하나의 양호하지 않은 에지에 영향을 준다는 것을 보여줍니다.$d$$r$

배경

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문제는 분산 컴퓨팅의 기초, 특히 로컬 알고리즘과 관련이 있습니다.

우리가 이해하고 싶은 것은 다음과 같습니다. 어떤 상황에서 전체 순서가 존재하면 분산 시스템에서 로컬 대칭을 깨는 데 도움이됩니다. 직관적으로, 각 노드 의 G는 의 함수 인 출력 생성한다 ( G의 V를 , ≤ V ) , 즉, 로컬의 이웃의 함수 V . 엣지 e = { u , v } 가 나쁘면 e 근처에서 사용할 수있는 로컬 대칭 파괴 정보가 있으며 노드 u 및 v 는 다른 출력을 생성 할 수 있습니다. 가장자리가 좋으면 노드$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$ 와 v 는 로컬에서 구별 할 수 없으며 동일한 출력을 생성해야합니다.$u$$v$

많은 고전적인 그래프 문제의 경우, 총 차수가 도움이되지 않는 것으로 알려져 있습니다 (많은 약한 관계는 본질적으로 동일한 양의 대칭 파괴 정보를 제공함). 일부 경우는 여전히 열려 있습니다. 둘레 그래프는 획기적인 것일 수 있습니다.

이것은 상생의 질문 일 수 있습니다. 답변에 관계없이 새로운 것을 배웁니다. 대답이 "예"이면 새롭고 더 강한 하한 결과를 도출 할 수 있습니다. 대답이 "아니오"인 경우 모든 에서 사용할 수있는 로컬 대칭 파괴 정보를 활용하는 더 빠른 알고리즘을 설계 할 수 있습니다 .$(G,\le)$

물론 실제 세계에서는 에 대한 총 주문이 없습니다 . 우리는 더 많은 것을 가지고 있습니다 : 각 노드 v ∈ V 는 고유 한 레이블 ℓ ( v ) ∈ N 을가 집니다. 그러나 전체 주문과 고유 라벨 사이의 간격을 메우는 것이 일반적으로 더 간단합니다. 종종 Ramsey와 같은 주장은 (최악의 경우) 레이블이 전체 순서로 제공되지 않는 정보를 제공하지 않는다는 것을 보여줍니다.$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

예 예 쌍은 존재 ε > 0 , 모든 R , 모든 g 및 짝수 D .$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

자세한 내용은 arXiv : 1201.6675를 참조하십시오 .