타우 톨 로지가 몇 개나 있습니까?

주어 졌을 때 , n 변수와 절을 가진 k- DNF는 $m, n, k$몇 개나 되나요? (또는 얼마나 많은 CNF가 만족스럽지 않습니까?)$k$m $n$$m$$k$

답은 $k$ , $m$ 및 에 따라 다릅니다 $n$. 정확한 개수는 일반적으로 알려져 있지 않지만 $k$ , $m$ , 의 대부분의 설정에서 $n$거의 모든 $k$ SAT 인스턴스가 만족 스럽거나 거의 모든 인스턴스가 만족스럽지 않은 "임계 값"현상이 있습니다. 예를 들어 $k=3$ , 그것을 경험적으로 관찰 된 $m < 4.27 n$ 모든하지만 $o(1)$ 분획 3-SAT의 인스턴스를 만족할 수 있으며, 경우에 $m > 4.27n$ 모든하지만 분수는 만족스럽지 않습니다. (경계에 대한 엄격한 증거도 있습니다.)$o(1)$

한 가지 시작점은 "k-SAT 임계 값의 점근 순서" 입니다.

Amin Coja-Oghlan 은 이러한 만족도 임계 값 문제에 대해 많은 작업 을 수행 했습니다 .

이것은 Ryan의 답변을 보완하기위한 확장 된 주석으로, 인스턴스 수가 거의 만족스럽지 않을 정도로 절의 수가 커지는 임계 값을 처리합니다 . 하나는 또한 더 큰 임계 값을 계산할 수있는 절의 개수 힘 은의 함수 넘으면 unsatisfiability .$n$

일부 기술적 문제를 해결해야합니다. 반복이 절에서 계산되는 경우 , 다음 m은 변경하지 않고 소망 한 크게 할 수 없음 . 이것은 m 과 n 사이의 대부분의 관계를 파괴 합니다. 따라서 m 은 고유 절 수 라고 가정하십시오 . 인스턴스 내에서 리터럴의 순서 또는 인스턴스 내에서 조항의 순서가 중요하도록 인스턴스가 인코딩되는지 여부에 대한 다른 세부 사항을 결정해야합니다. 이것이 중요하지 않다고 가정하면, 두 개의 인스턴스가 동일한 절을 포함하면 동일한 것으로 간주되고 두 개의 절은 동일한 리터럴을 포함하면 동일합니다. 이러한 가정을 통해 이제는 다음과 같이 표현할 수있는 고유 절 수를 제한 할 수 있습니다.$m$$m$$n$$m$$n$$m$ 변수. 각 절은 각 변수가 양 또는 음으로 발생하거나 전혀 발생하지 않은 다음 m ≤ 3 n 일 수 있습니다.$n$$m\le 3^n$

먼저 제한없이 SAT를 고려하십시오 . 인스턴스가 만족할 수 있는 가장 큰 m 은 무엇입니까 ? 일반성을 잃지 않고 우리는 0으로 할당하는 것이 해결책이라고 가정 할 수 있습니다. 그런 다음 이 솔루션과 일치하는 3 n - 2 n 개의 서로 다른 절이 있으며 각 절에는 적어도 하나의 부정 리터럴이 포함되어 있습니다. 따라서 만족스러운 실례에 대해 m ≤ 3 n - 2 n 입니다. 각각 하나 이상의 부정 리터럴을 포함하는 모든 절로 구성된 인스턴스에는이 절이 많으며 0으로 지정하면 만족됩니다. 또한, 비둘기 구멍 원리에 의해 3 n 이상인$k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ 절은 만족스럽지 않습니다.$3^n-2^n+1$

이 결과 그러한 절의 - 2 n 개의 서로 다른 부분 집합을 생성하며, 각각은 어떤 할당에 의해 만족되는 별개의 인스턴스를 나타낸다. 비교하면, 다른 인스턴스의 총 수는 2 3 n 입니다.$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

각 절에 최대 리터럴 이있는 경우 위의 내용을 수정하면 ∑ k i = 0 ($k$그러한 조항들을 구별하고,∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ 음수 리터럴이없는 절이므로m≤∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$만족할만한 경우 i ) (2i-1)이며, 더 큰m은 만족할 수 없습니다. 그러면2∑ k i = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$총2∑ k i = 0 ( n중 특정 할당에 의해 충족 된 인스턴스$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT 인스턴스.$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$