스스로 감소하는 람다-칼루 루스 항


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람다 미적분학을 배우려고 계속 노력하고있는 Hindley & Seldin의 "Lambda-Calculus and Combinators a Introduction"은 다음 논문 (Bruce Lercher)에 의해 언급 된 다음 논문 (Bruce Lercher) 이 자신과 동일한 유일한 환원 가능한 표현 (모듈로 알파 변환)을 언급 합니다. 는 : .(λx.xx)(λx.xx)

나는 그 결과를 믿지만, 논쟁을 전혀 따르지 않습니다.

매우 짧습니다 (한 단락 미만). 모든 설명은 가장 환영받을 것입니다.

감사,

야경

답변:


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먼저 결과는 오른쪽이 왼쪽과 동일한 (모듈로 알파 변환) 유일한 베타 레 덱스가 임을 나타 냅니다. 상황에 따라이 redex를 갖는 다른 용어가 있습니다.(λx.xx)(λx.xx)

증거를 약간 수정하지 않고 지나칠 수없는 점이 있지만 Lercher의 증거가 대부분 어떻게 작동하는지 알 수 있습니다. 한다고 가정하자 (I 사용 = 알파 동등성)을 가변 규칙에 따라 해당 가정 X는 무연 발생하지 않는 B .(λx.A)B=[B/x]A=xB

왼쪽과 오른쪽 의 수를 센다 . 축소는 redex에서 하나를 제거 하고 B 의 것을 제거 하고 A 에서 x 의 발생 횟수 를 B에 곱한 수를 합니다. 경우 즉, L ( M가 ) 의 수이며 λ는 '입력 S M# X ( M은 ) 프리 발생 횟수 인 XM1 + L ( B ) = # X (λBBxAL(M)λM#x(M)xM . 그 Diophantine 방정식의 유일한 해결책은 # x ( A ) = 2 (그리고 L ( B ) = 1 이지만 우리는 그 사실을 사용하지 않을 것입니다).1+L(B)=#x(A)×L(B)#x(A)=2L(B)=1

위 단락에 대한 Lercher의 주장을 이해하지 못합니다. 그는 및 원자 항의 수를 셉니다 . 이것을 # ( M ) 이라고하자 . 방정식은 # ( B ) + 1 = # x ( A ) × ( # ( B ) 1 ) 이며, 두 가지 솔루션이 있습니다 : # x ( A ) = 2 , # ( B ) = 3# x ( Aλ#(M)#(B)+1=#x(A)×(#(B)1)#x(A)=2,#(B)=3 입니다. 두 번째 가능성을 없애는 확실한 방법은 없습니다.#x(A)=3,#(B)=2

이제 양쪽의 와 같은 하위 항의 수에 동일한 추론을 적용 해 봅시다 . 축소는 상단 근처에서 하나를 제거 하고 Ax의 대체 된 발생 횟수 , 즉 2를 더합니다. 따라서 B 가 한 번 더 사라져야합니다. A에 있는 것이 남아 있기 때문에 ( B 에 자유 x 가 없기 때문에 ) 왼쪽 에서 B 의 추가 발생은 λ x 이어야합니다 . .BxABABxBλx.A

Lercher가 B 가 하위 용어로 없다고 추론하는 방법을 이해 하지 못하지만 이것은 실제로 증거와 관련이 없습니다.AB

초기 가설에서 는 응용입니다. 경우에 해당되지 않을 수 = X는 따라서 자체 애플리케이션 인 M N은 함께, λ (X) . M N = [ ( λ x . M N ) / x ] M = [ ( λ x . M N ) / x ] N[(λx.A)/x]AA=xAMNλx.MN=[(λx.MN)/x]M=[(λx.MN)/x]N. 이후 subterm 자체를 가질 수없는 M은 폼이없는 λ X를 . P 이므로 M = x 입니다. 마찬가지로 N = x 입니다.MMλx.PM=xN=x


계산에 대한 논증이없는 증거를 선호합니다. 라고 가정합니다 .(λx.A)B=[B/x]A

A=x(λx.A)B=BBAA1A2λx.A=[B/x]A1B=[B/x]A2

A1=xA1=λx.[B/x]AA1=λx.(λx.A1A2)B

A2=xA2xBA2=B

A=xxBBB=λx.Aλx.xx

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