점 사이의 거리 만 주어진 구조의 최소 치수를 결정하는 가장 좋은 방법

나는 컴퓨터 과학에서 멀리 떨어진 물리학 영역 에서이 문제를 겪었지만 CS에서 연구 된 질문 유형처럼 보이므로 여기서 운이 좋을 것이라고 생각했습니다.

점 집합 과 점 d i j 사이의 거리 목록 이 있다고 가정합니다 . 이러한 점을 포함해야하는 공간의 최소 치수를 결정하는 가장 효율적인 방법은 무엇입니까? 다시 말해, 거리 제약 조건 d i j를 만족시키는 R k 의 점들의 세트가 존재 하도록 가장 작은 k 는 무엇인가 . 나는 C k에 대한 답변에 똑같이 행복 할 것이지만 이것은 더 어려워 보인다.$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

나는 거리가 일치해야한다는 말을 기쁘게 생각합니다 일부 일정 정확도 내에만 ε 와 포인트가 실수로 컴퓨팅의 회피 문제에 위해, 일정한 간격의 일부 격자에 포인트로 제한하도록.$d_{ij}$$\epsilon$

사실, 나는 주어진이 문제의 결정 버전에 대한 솔루션을 아주 행복 할 것이다 하고 k는 정점의 여부 등 세트 묻는 메시지가 { V I } 존재를. 소소의 점의 집합 주어진 때문에 문제는 NP에 R의 K 그들이 거리 조건을 만족하는지 확인하기 쉽다을하지만,이 특정 문제에 대한 서브 지수 시간 알고리즘이 있어야 같이 느낀다.$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

가장 확실한 접근 방식은 한 번에 하나의 점을 추가하고 각 반복에서 새로운 공간 차원을 추가해야하는지 여부를 결정하여 차원 구조를 반복적 으로 구축하는 것 같습니다 . 이것의 문제점은 기존 구조에 점을 추가하는 방법이 두 개 이상인 모호성에 빠질 수 있으며 더 많은 점을 계속 추가 할 때 치수를 줄이는 방법이 확실하지 않다는 것입니다.$k$

마지막으로, 어떤 차원에서도 만족할 수없는 거리 (즉, 삼각형 부등식을 위반하는 거리) 목록을 작성하는 것이 쉽다는 것을 알고 싶습니다. 그러나 내가 관심있는 인스턴스의 경우 만족스러운 일련의 점을 찾을 수있는 최소 유한 수의 차원이 항상 있습니다.

이 문제를 때때로 저 차원 유클리드 거리 매트릭스 완성 또는 가중치 그래프의 저 차원 유클리드 임베딩이라고합니다.

Saxe [Sax79]와 Yemini [Yem79]는 Partition 문제에서 간단한 감소로이 문제는 1 차원의 경우에도 NP- 완전 함을 독립적으로 보여 주었다. 즉, 다음 문제는 k = 1 인 경우 NP가 완료된 것입니다 .

가중 그래프의 k- 차원 유클리드 거리 행렬 완료 / k- 차원 유클리드 임베딩
인스턴스 :이진 또는 "미지"의 양의 정수인 엔트리가있는 대칭 매트릭스 M.
질문 : M 의 미지의 항목을 실수로 채워서 M 이 k 차원 유클리드 공간 ℝ ^k 의 거리 매트릭스가 될 수있습니까?
마찬가지로,
인스턴스 :각 모서리에 이진수로 작성된 양의 정수 가중치가있는그래프 G.
질문 :의 정점 수 G는 에 배치k의 유클리드 공간 ℝ ^k 이므로 G의 각 모서리에 대해 두 끝점 사이의 거리가 모서리의 무게와 같습니까?

또한, Saxe [Sax79]는 (3SAT로부터의보다 관련된 감소에 의해) k- 정도 유클리드 거리 매트릭스 완료는 모든 양의 정수 상수에 대해 M 에서 알려진 모든 엔트리 가 1 또는 2 라는 제한 하에서도 NP-hard로 유지됨을 보여 주었다 k . 특히, M 의 알려진 항목 이 단항으로 제공되는 경우에도 문제는 NP- 완료 입니다. [Sax79]에는 근사 임베딩에 대한 경도 결과도 포함되어 있습니다.

그건 그렇고, 문제가 NP에 있다는 것이 사소한 것이라고 생각하지 않습니다. k > 1 인 경우 비이성 좌표가 필요합니다 . 그것이 NP에있는 것으로 알려져 있는지 모르겠습니다.

참고 문헌

[Sax79] 제임스 비 삭스. k 공간 에서 가중치 그래프의 삽입 가능성은 NP-hard입니다. 에서 통신, 제어 및 컴퓨팅에 17 Allerton 대회 논문집 :. 제임스 B. 작센에서 또한, PP 480-489, 1979 그래프 임베딩 문제에 두 논문 , 컴퓨터 과학과, 카네기 멜론 대학, 1980.

[Yem79] Yechiam Yemini. 위치-위치 문제의 일부 이론적 측면. 제 20 회 컴퓨터 과학 재단 (FOCS)에 관한 연례 심포지엄 , pp. 1-8, 1979 년 10 월. DOI : 10.1109 / SFCS.1979.39

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