최적의 추가 사슬을 찾기가 어렵습니까?

또한 쇄 양의 정수의 시퀀스 인 , X (1) = 1 및 각 인덱스 i가 ≥ 2 , 우리가 X I = X J + X (k)를 어떤 지수에 대해 1 ≤ J , k < i . 부가 사슬 의 길이 는 n 이고; 추가 체인 의 목표 는 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$$x_1 = 1$$i\ge 2$$x_i = x_j + x_k$$1\le j,k < i$$n$$x_n$ .

다음 문제의 복잡성에 대해 알려진 것 : 정수 주어지면 $N$목표가 인 최단 가산 사슬의 길이는 $N$얼마입니까? NP- 하드입니까?

Wikipedia 는 Downey, Leong 및 Sethi의 1981 년 논문을 지적하여 다음과 같은 관련 문제가 NP-hard라는 것을 증명합니다. 정수 세트가 주어지면 전체 세트를 포함하는 추가 체인의 최소 길이는 얼마입니까? 몇몇 저자들은이 논문이 단일 목표 문제가 NP-hard라는 것을 증명하지만 분명히 그렇지 않다고 주장한다.

문제는 2002 년 Eric Lehman의 PhD 논문 "문법 기반 데이터 압축에 대한 근사 알고리즘"에서 공개 된 것으로 언급됩니다. 논문의 p35에서 :

그럼에도 불구하고, 덧셈 체인 문제에 대한 정확한 해결책은 이상하게도 애매 모호하게 남아있다. M-ary 방법은 polylog (n) 시간에 실행되며 1 + o (1) 근사치를 제공한다. 그러나 기하 급수적으로 더 많은 시간이 허용 되더라도 poly ( n) 정확한 알고리즘은 알려져 있지 않습니다. "

리먼 논문 의 주요 논문에는 참고 문헌과 함께 문제 (섹션 VB)에 대한 좋은 개요가 있습니다.

다항식 시간 알고리즘에 대한 부분 진행 상황을 문서화하고 싶습니다. 업데이트 : @David가 지적한 결함을 설명하기 위해 몇 가지 세부 정보가 추가되었습니다 (감사합니다!).

이 방법은이를 다항식 시간 해결 가능한 문제인 MIN-ONES EVEN-3 CSP (MOEC) 인스턴스로 줄이는 것입니다. 감소의 증거는 약간 희미하지만 그것이 존재하기를 바랍니다.

MOEC의 인스턴스는 변수 우주의 크기의 부분 집합과 정수 k 의 패밀리입니다 . 문제는 최대 k 의 만족스러운 가중치 할당이 있는지 여부입니다. 여기서 할당은 유니버스에서 { 0 , 1 } 까지의 함수 이고, 할당 가중치는 할당하는 변수의 수이며 할당은 다음과 같습니다. 변수 { x , y , z } 의 모든 하위 집합에 대해 할당 ( f )에 다음과 같은 속성이있는 경우 :$3$$k$$k$$\{0,1\}$$\{x,y,z\}$$f$

.$f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$

이것을 다른 만족도의 개념으로 3-SAT로 시각화 할 수 있습니다. 없음을 선택하거나 2 개를 선택하십시오. 나는 일반적인 서브셋, 함의, 길이 2의 분리 및 제약 ( x = 1 )을 제외하고 MOEC 인스턴스에 대해 약간 느슨 할 것이다 . 나는 이러한 간단한 추가가 문제의 다항식 시간을 유지할 것이라고 믿습니다.$3$$(x = 1)$

숫자 대한 추가 체인 문제를 줄이고 있다고 가정 해 봅시다 . 이 축소에 설정된 변수는 다음과 같습니다.$n$

마다 변수 N i 입니다. 변수 N n 을 N 으로 다시 씁니다 . 각 쌍의 I , J 되도록 1 ≤ I $1 \leq i \leq n$$N_i$$N_n$$N$$i,j$ 변수의 도입 P의 난의 J 와 Q의 I의 J를 . $1 \leq i,j \leq k$$P_{ij}$$Q_{ij}$

k = i + j가 되도록 모든 대해 다음과 같은 부분 집합을 소개하십시오 .$i,j,k$$k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

그리고 다음과 같은 의미 :

및 P I J ⇒ N의 $P_{ij} \Rightarrow N_i$$P_{ij} \Rightarrow N_j$

그리고 다음과 같은 제약 조건이 있습니다.

.$(N_1 = 1), (N = 1)$

마지막으로, "대응" N- 변수 (표기 남용)가 지정 될 때 변수 중 적어도 하나 가 선택 되도록하는 제약 조건을 추가해야합니다 . 이것은 일반적인 또는 제한을 통해 모든 추가하여 수행 할 수 있습니다 P I J 그러한 I + J를 받는 합을 N 문제 -variable. 그러나 MOEC 프레임 워크에서이를 다시 인코딩하는 방법을 찾아야합니다.$P$$N$$P_{ij}$$i + j$$N$

변수 세트가 주어지면 일반적인 말하기 방법을 설명하겠습니다.

,$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$

방법 제한 "할당이 만족스럽고 세트되면 다음 번에 정확히 하나 -1- I 의 할당이 하나로 설정해야」라고 MOEC 구문으로 인코딩 될 수있다. 이것은 우리의 요구 사항에 충분하며 우리는 단순히 제약 조건을 소개합니다.$X$$l_i$

.$(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

인코딩은 다음과 같이 수행됩니다. 하자 에 뿌리를 완전 이진 트리 수 t의 잎. 모든 1 ≤ d ≤ log t 및 1 ≤ i ≤ L ( d )에 대해 새 변수 T d i 를 소개합니다 . 여기서 L ( d ) 는 깊이 d 에서 T X 의 노드 수를 나타냅니다 .$T_X$$t$$T_{di}$$1 \leq d \leq \log t$$1 \leq i \leq {\cal L}(d)$${\cal L}(d)$$T_X$$d$

모든 노드 에 대해 p 와 q 가 트리의 자식이면 EVEN-3 제약 조건을 도입하십시오.$T_{di}$$p$$q$

$\{T_{di},p,q\}$

이는 노드에 해당하는 변수가 true로 설정되면 해당 하위 중 하나도 true로 설정되어야 함을 의미합니다. 이제 의미를 추가하십시오.

및 ( d log t , j ) ⇒ l j (명확성을 위해 쉼표).$(X \Rightarrow T_{11})$$(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$

이 EVEN-3 제약과 의미의 조합은 인코딩하고자하는 제약과 동일합니다.

직관적으로, 마지막 두 제약 조건은 추가 체인을 만드는 데 필요한 반응을 정확하게 유발한다는 것입니다. 특히, 만족스러운 과제에 의해 할당 된 보자 -그것들은 N에 대한 추가 체인을 형성 할 것이라는 주장이다 : 과제는 N 을 1 로 설정 해야하기 때문에 최소한 하나 P의 난의 J 하나로 설정하고, 영향 력 N I 및 N의 $N_i$$N$$N$$P_{ij}$$N_i$$N_j$하나를 배정 받았을 때, 이것은 끝까지 내려갑니다. (이런 수준의 세부 사항을 아직 해결하지는 않았지만 이것이 유도로 공식화 될 수 있다고 확신합니다). 설정하지 않습니다 할당 된 사람의 수에 최적 인 satsifying 할당합니다 이쌍에 대한 사실 ( r은 , 이야 ) 및 ( R ' , 이야 ' ) 하여 이유, 즉 P의 -variables는 추가와 함께 함의의 짐과 Q 변수는 ( N i 가 참이고 P 인 절에서 EVEN-3 만족을 보장하기 위해 존재한다)$P_{ij}$$(r,s)$$(r',s')$$P$$Q$$N_i$ 가 사실이 아니며, 우리는 여전히 그 절을 만족시키기 위해 무언가를 선택해야하며, 쉽게 볼 수있는 이유로, 이것은 절 전체에 걸쳐 하나의 보편적 변수가 될 수 없습니다).$P_{ij}$

따라서 추가 체인은 만족스러운 과제에 해당하며 그 반대도 마찬가지입니다. 나를 다소 정식이의 한 부분을 설명하자 부가 체인 주어, 우리가 할당 구성 만족되는합니다. , 우선 f를 모든 세트 N 내가 '하나 체인 것을 특징 S 및 다른 N 난 '제로이야. 또한 경우에, k는 가산 체인 기능하고 각 N에 K ,하자 난 k는 , j 개의 K가 되도록 체인의 요소 수 난 케이 + j 개의 K = J가 . 그런 다음 f 세트$f$$f$$N_i$$N_i$$k$$N_k$$i_k,j_k$$i_k + j_k = j$$f$$P_{i_k j_k}$ to one (and $Q_{i_k j_k}$ to zero), and all $(i,j)$ such that $i \neq i_k$ and $j \neq j_k$ and $i+j = k$, $f$ sets $Q_{ij}$ to one (and $P_{ij}$ to zero). For all $k$ that don't feature in the addition chain, for all $i,j$ such that $i+j = k$, set all $Q_{ij}$ and $P_{ij}$0으로 설정합니다 (일관성에 따라 두 숫자가 합쳐진다는 사실에서 일관성이 유지됨). N i 와 관련된 모든 조항$N_i$ in the chain is satisfied because either a P-variable or Q-variable corresponding to it was set to one (and notice that exactly one of them are set to one for any pair $(i,j)$). For every other clause, everything is set to zero. That the implications hold is easy to check.

불분명 부분은 다음과 같다 : 모든 요소에 대해 때문에 첨가 체인 선택은 할당의 중량 초래 t를 인해 모두의 ($t$$t$$Q$-variables being set to one). So there is a possibility that a longer additional chain would correspond to a cheaper assignment, but I am quite sure this doesn't happen because of a proof along the following lines: consider an optimal addition chain and suppose there is a longer one that has a smaller-weight satisfying assignment corresponding to it. Clearly, the elements of the longer chain exclude at least one from the shorter one - let that element be $x$. I wish to say that the cost incurred with $x$어쨌든 더 긴 체인에서 발생하고 나머지는 호의적으로 비교됩니다. 그러나, 나는 이것을 조심스럽게 적어야하며, 자정 이후 증후군에서 볼 수 있습니다!