Mobius 기능 계산

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Mobius 함수 은 , 에 제곱 소수가있는 경우 되며 모든 소수 가 다른 경우 그것은 계산하는 것이 가능하다 의 소인수 분해하지 않고 계산 ? $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ $n$

comp-number-theory

— 크레이그 페인 슈타인
소스

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그는 단지 인수 분해를 제공하지 않는 을 계산할 수있는 방법이 있는지 묻고 있다고 생각 합니다.

μ (n)

$\mu(n)$

— Suresh Venkat

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@Kaveh, 나는 여기서 계산 복잡성에 대해 이야기하지 않습니다. 수레 쉬는 그의 해석에서 정확하다. 인수 분해를 결정하지 않고 숫자가 복합인지 확인하는 것과 비슷합니다. Mobius 기능에 대해서도 이와 같은 작업을 수행 할 수 있습니까?

— 크레이그 페인 슈타인

1

나는 이것이 진짜 질문이라고 생각하지 않습니다. 나는 cstheory에 우리는 엄격한가 있음을 생각 나게하는 것이 유용 할 거라고 생각 크랭크 친화적 인 주제에 대한 정책 당신이 아이디어를 광고하려고 할 경우에는 이를 .

— Kaveh

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@ Kaveh, 나는 4 개의 엄지 손가락을 가진 심각한 질문을했다. 물론, 내 대답에는 8 개의 엄지 손가락이 있지만 인생입니다. 오늘까지 질문에 대한 답을 몰랐으므로 답을 게시했습니다. 내가 여기에 어떤 종류의 욕구 동기가 있다고 주장함으로써 당신이 나를 쫓아 내려는 것처럼 들린다. 나는 그 질문에 대한 답을 얻는 것 외에 다른 동기가 없다는 것을 확신 할 수 있습니다.

— Craig Feinstein

5

@Kaveh : OP는 여러 포럼에서 잘 알려진 trisector입니다. 당신이 그를 누군가에게 무례하게 본 적이 있습니까? 하지 않았습니다. 그는 하한을 증명하는 것이 무엇을 의미하는지 오해합니다. 문제는 나에게 주제에 보인다. "정지 된 시계조차도 하루에 두 번입니다."라는 말이 있습니다.

— Aaron Sterling

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귀하의 질문에 대한 답이 아닌 한 가지 방법은 SQUARE-FREE (숫자가없는 무료) 자체가 P로 알려져 있지 않으며 Möbius 함수를 계산하면이 문제를 해결할 것입니다 (사각없는 숫자는 ). $\mu(n) \neq 0$

— 수레 쉬 벤 카트
소스

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제곱 자유의 복잡성을 논의하는 논문을 알고 있습니까? 내가 찾을 수있는 것은 dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE 이며 수식 크기의 하한을 제공합니다. mathoverflow.net/questions/16098/…을 보면 제곱 자유도 에 대한 인수 분해를 줄일 수 있는지 여부에 대해서는 잘 알려져 있지 않습니다.

— 사쇼 니콜 로프

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또 다른 대답이 아닌 경우 Sarnak의 추측에 관심이있을 수 있습니다 (예 : http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/ , http : //rjlipton.wordpress 참조 ) .com / 2011 / 02 / 23 / the-depth-of-the-mobius-function / , /mathpro/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function ) 기본적으로 Möbius 함수는 "간단한"부울 함수와 상관되지 않습니다. "단순"이 다항식 시간으로 해석 될 때 보유해야한다고 예상하는 것은 무리가 없습니다. 우리가 지금까지 알고있는 것은 추측은 함수 ( Ben Green에서 제공 )와 모든 모노톤 함수 ( Jean Bourgain에서 제공 )에 대한 것입니다. $\mathrm{AC}^0$

— 에밀 제라 벡 3.0
소스

4

:이 벤 녹색 종이라고 생각 arxiv.org/abs/1103.4991

— 수레 쉬 벤 카트

0

mobious function의 값에 관한 재귀 공식 중 하나는

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$ 그러나

μ (n)

$\mu(n)$ 을 찾으려면

m < n

$m < n$ 대한 mobious 값을 알아야합니다. 따라서

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$ 여기에서 우리는

n

$n$ 을 더 작은 양의 정수

m < n

$m<n$ 으로 나눕니다.

에 제곱 인자가있을 때그것들이

n

$n$ 인자인지 알 필요는 없습니다! (

), 그러나 우리는이것을 결론

위해

의 인자를 알아야합니다!! 따라서 우리는 다음과 같습니다 :

m

$m$

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$

m

$m$

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$ 공식 증명에 대해서는https://projecteuclid.org/euclid.mjms/1513306829를 참조하십시오.

— 훈데 에바
소스

n = 120

$n=120$

편집 된 버전을 확인하십시오 !! @Craig

— 훈데 에바

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$n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

항아리에 젤리 빈이 홀수인지 짝수인지를 알기 위해서는 젤리 빈을 세어야합니다. 따라서 제곱으로 나눌 수없는 경우 Mobius 함수를 계산하려면 숫자의 소인수 분해를 계산해야합니다. 그러나 항아리에 젤리 빈이 두 개 이상 있다는 것을 알기 위해 항아리에있는 젤리 빈을 검사 할 필요가 없습니다. 항아리를 흔들면 젤리 빈이 두 개 이상 있다는 것을들을 수 있습니다. 그렇기 때문에 숫자가 복합인지 알기 위해 숫자를 고려하지 않아도됩니다. Fermat의 Little Theorem과 같은 알고리즘을 사용하면 "수를 흔들어"합성이라는 것을 알 수 있습니다.

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— 크레이그 페인 슈타인
소스

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@Craig 여전히 잘못되었습니다. Peter Shor가 말한 것처럼 복합 테스트 문제에 대해 동일한 (사실 한) 주장을 사용할 수 있습니다. 기본적으로 문제에 대한 알고리즘을 제공하고 이것이 진행할 수있는 유일한 방법임을 나타냅니다. 명백한 알고리즘이 문제를 해결하는 데 가장 좋다는 것을 보여주는 것이 복잡성 이론에서 가장 큰 도전 중 하나입니다.

— Michael Blondin

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n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

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"병에 젤리 빈이 홀수인지 짝수인지 알기 위해서는 젤리 빈을 세어야합니다." -이것은 사실이 아닙니다. 당신이 갈 때 실제로 계산하지 않고 쌍으로 나올 수 있습니다 (하나는 당신을 위해 하나 ...). 그런 다음 당기기 위해 쌍이 부족하면 왼쪽에 0 또는 1이 있고 패리티를 알고 있습니다.

— David Eppstein

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M

$M$

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크레이그는 소수로 계산하지 않고 정수 제곱근을 계산함으로써 (다항식 시간과 비교할 수없는 것으로 알려져 있음) 69 ^ 2입니다. 나는 69를 고려할 필요가 없다. 당신의 콩 논쟁은 모든 맛이 여러 번 발생하는지 확인하기 위해 모든 젤리를 봐야하기 때문에 팩토링이 필수적이라고 제안한다.

— sdcvvc