행렬 곱셈 지수

구약 적으로, 행렬 곱셈 지수 의 정의 는 알려진 n ω 행렬 곱셈 알고리즘 이 존재하는 가장 작은 값 이다. 이것은 공식적인 수학적 정의로 받아 들일 수 없으므로 기술적 정의는 모든 t에 대한 부정확 한 것으로 추측하여 n t 에 행렬 곱셈 알고리즘이 있습니다.$\omega$$n^{\omega}$$t$$n^t$

이 경우에, 우리는에 매트릭스 곱셈 알고리즘가 말할 수 또는 N ω + O ( 1 ) , 단지 그 모든 ε > 0 의 알고리즘이 존재 N ω + ε이 . 그러나 종종 행렬 곱셈을 사용하는 논문과 결과는 비용을 단순히 O ( n ω ) 로보고 합니다 .$n^{\omega}$$n^{\omega + o(1)}$$\epsilon > 0$$n^{\omega + \epsilon}$$O(n^{\omega})$

이 사용법을 허용 하는 대한 대체 정의가 있습니까? 시간 n ω 또는 n ω + o ( 1 ) 의 알고리즘이 존재해야한다는 결과가 있습니까? 아니면 사용법 O ( n ω )가 단순히 부주의합니까?$\omega$$n^{\omega}$$n^{\omega + o(1)}$$O(n^{\omega})$

행렬 곱셈 지수 인 시간에서 실행되는 알고리즘이 있다는 것을 보장하지 않는다 O ( N ω는 ) 하지만 각 것만 ε > 0 , 알고리즘이 존재한다는 점에서 실행 O ( N ω + ε ) . 실제로 시간 O ( n 2 p o l y l o g ( n ) ) 에서 실행되는 알고리즘을 찾을 수 있으면 ω = 2 임을 나타냅니다 .$\omega$$O(n^\omega)$$\epsilon > 0$$O(n^{\omega+\epsilon})$$O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$$\omega = 2$

Peter Bürgisser, Michael Clausen, Amin Shokrollahi의 Algebraic Complexity Theory 책에서 공식적인 정의를 찾을 수 있습니다.

댓글이 너무 길지 않은 작은 댓글 :

때때로 ϵ > 0 마다 실행 시간이 인 알고리즘이있는 문제가있을 때 실행 시간이 n k + o ( 1 ) 인 알고리즘이 있습니다.$O(n^{k+\epsilon})$$\epsilon>0$$n^{k+o(1)}$

예를 들어, 때로는 빠르게 성장하는 함수 f (예 : 2 2 1 / ϵ )에 대해 같은 알고리즘을 얻을 수 있습니다. 만약 당신이 세트 F ( 1 / ε ) 에 (예를 들어) 로그 N , 다음 ε는 (1) O를 할 것이다. 함께 예에서 F ( 1 / ε ) 인 2 2 1 / ε , 선택할 수 1 /$f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$$f$$2^{2^{1/\epsilon}}$$f(1/\epsilon)$$\log n$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$2^{2^{1/\epsilon}}$$1/\epsilon$ 이어야하며 , 이는 ϵ = 1 / ( log log log n ) 이며 o (1)입니다. 이 알고리즘의 최종 실행 시간은 수 있도록 N k는 + O ( 1 ) 이후, 로그 N 도 N O를 ( 1 ) .$\log \log \log n$$\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$$n^{k+o(1)}$$\log n$$n^{o(1)}$

Coppersmith와 Winograd 의 결과 는 단일 알고리즘으로 시간을 실현할 수 없다는 것이 잘 알려져 있습니다. 그러나 Strassen과 같은 쌍 선형 아이덴티티를 기반으로 한 알고리즘으로 제한되었다는 것을 읽었습니다 . 그래서 논문이 페이 월 뒤에 있기 때문에 확실하지 않습니다.$O(n^{\omega})$

가 "알려진 n ω 행렬 곱셈 알고리즘 이있는 가장 작은 값"으로 잘 정의되지 않았다는 질문에 대한 귀하의 진술에 동의하지 않습니다 . 사람들이이 상수를 사용하는 경우, 그들의 알고리즘은 행렬 곱셈에 의존하기 때문에 복잡도 n ω 는 "우리 알고리즘의 최적의 복잡성은 행렬 곱셈을위한 최적의 알고리즘에 의해 주어진다"를 의미합니다.$\omega$$n^ω$$n^\omega$

나는 그렇지 않으면 를 정의 할 수 없다고 말하는 것이 아니다 (예를 들어 ω 가 가장 달성 가능한 복잡도 라고 말하는 것 ).$\omega$$\omega$

내가 실수하지 않으면 행렬 곱셈에 가장 잘 알려진 Btw가 로 향상되었습니다 . $2.3737$