SERF- 환원성 및 서브 지수 알고리즘

Impagliazzo, Paturi 및 Zane 의 SERF-reducibility 및 subexponential algorithm에 관한 질문이 있습니다 . SERF- 환원성의 정의는 다음을 제공합니다.

경우 SERF 환원성이다 거기에 에 대한 알고리즘 각 , 후가 에 대한 알고리즘 각 . (두 문제에 대한 경도 파라미터는 으로 표시됩니다 .) $P_1$ $P_2$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_2$ $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

일부 출처는 다음 사항도 포함 함을 암시하는 것으로 보입니다.

경우 SERF 환원성이다 거기에 에 대한 알고리즘 하고있다 에 대한 알고리즘 . $P_1$ $P_2$ $O(2^{o(n)})$ $A_2$ $O(2^{o(n)})$ $P_1$

내 질문은,이 후자의 주장이 실제로 보유하고 있으며, 그렇다면 어딘가에 증거의 기록이 있습니까?

배경으로, 지수 시간 가설 주변 영역을 이해하려고 노력했습니다. IPZ 는 각 에 대해 알고리즘 이있는 하위 지수 문제를 정의 하지만, 현재 지식에 비추어 보면 문제에 대한 하위 지수 알고리즘이 있음을 나타내기에 는 충분하지 않습니다. . SERF 환원에 동일한 격차가있는 것 같지만, 여기에 뭔가 빠진 부분이 있다고 기대하고 있습니다 ... $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$

cc.complexity-theory reference-request

— 제인 에이치 코호 넨
소스

편집 : Ryan이 주석에서 지적한 것처럼 문제에는 상수 (알고리즘은 액세스 할 수 있음 대해 실행 시간이 불균일 알고리즘이 있지만 균일하지 않을 수 있습니다 시간 알고리즘. $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$

농노 환원 같이 튜링 감소 가족, 각각 하나 , I는 그들이 단지 획득하는데 사용될 수 있다는 결론 로부터 시간 알고리즘 또는 시간 알고리즘. $\epsilon>0$ $O(2^{\epsilon n})$ $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

다음의 정리는 Chen et al. [2009] .

정리 2.4 . 하자 비 감소 함수 및 바운드, 그리고하게 파라미터 화 문제. 다음의 진술은 동등하다 : (1) 어떤 상수 대해 시간 에서 를 풀 수있다 . 여기서 는 다항식이다. (2) 는 시간 에서 풀 수 있습니다. 여기서 는 다항식입니다. $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ $2^{o(f(k))} q(n)$ $q$

취 하면 시간 알고리즘 이있는 경우에만 모든 대해 문제가 시간 알고리즘을 갖습니다 . $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

Chen 등의 논문에 언급되어있다. 이 동등성은 이전에 직관적으로 사용되었지만 연구원들 사이에 약간의 혼란을 초래했습니다.

— 서지 가스 퍼
소스

참고 사항 : 증거가 작동하려면 다른 조건이 있어야합니다. 우선, 는 효율적으로 계산 가능해야합니다. 둘째, 하나의 균일 한 알고리즘이 있어야 실현 각각 (생각할 또 다른 입력으로 ). 이러한 조건이 없으면 문제가 (1)을 만족시킬 수 있지만 (2)는 만족시키지 못할 수도 있습니다.

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— 라이언 윌리엄스

권리. 정리 2.4를 문맥에서 제외하면이 두 가지 조건이 사라졌습니다. 이 논문에서 각주 1은 대한 조건을 제공하고 두 번째 조건은 비고 2에 제시되어있다.

f

$f$

— 가스 퍼 서지

이것은 이것에 관한 나의 모든 질문에 거의 대답합니다! 대단히 감사합니다. 흥미로운 말로, SERF 감소는 하위 지수 알고리즘의 존재를 보존하지 않는 것처럼 보이지만 IPZ의 Sparsification Lemma는 실제로 우리에게 알고리즘을 제공하기에 충분히 강해 보입니다. 알고리즘 이있는 경우 -SAT .

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

— Janne H. Korhonen

누군가 나중에 이것을 우연히 발견 한 경우의 마지막 메모 : 분명히 일부 소스는 하위 지수 시간의 "비 균일"정의 (모든 에 알고리즘이 있음)를 사용하고 다른 소스 는 "유니폼"을 사용합니다 정의 ( 알고리즘이 있습니다.) 특히 IPZ는 전자를 사용합니다. 후자의 경우, 매개 변수 이 입력으로 축소에 제공 되도록 SERF 축소 정의를 변경해야합니다 . Chen 등의 상기 정리와 비교. 자세한 내용은 Flum and Grohe의 Parameterized Complexity Theory (2006)의 16 장을 참조하십시오.

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

ε

$\varepsilon$

— Janne H. Korhonen

또한 Flum과 Grohe는 그들의 책에 대한 답에서 정리의 증거를 제시하는 것 같습니다. Lemma 16.1을 참조하십시오.

— Janne H. Korhonen