"무 방향"변형보다 쉬운 "직접"문제.

나는 팬케이크 분류 에 관한 강의를 발표하고 있었고 다음 과 같이 언급했다.

• 역순으로 정렬하는 것은 NP-hard
• 반전에 의한 "서명 된"정렬은 P 입니다.

어느 날 생각 나게했다. "서명 된"분류가 "지시 된"이라는 의미가 있습니다.이 표시를 방향으로 볼 수 있습니다 (실제로 이것은 진화 생물학의 동기입니다). 그러나 더 쉬운 문제입니다! 일반적으로 (적어도 그래프에서는) 지시 된 문제가 지시되지 않은 상대보다 더 어렵 기 때문에 (또는 최소한 어렵 기 때문에) 드문 경우입니다.

"지시 된"의 관대 한 정의를 가정하면, 지시되지 않은 대응보다 쉬운 지시 된 문제의 예가 있습니까?

방향성 그래프에 대한 Eulerian 회로의 계수는 BEST 정리를 사용하여 다항식 시간으로 수행 할 수 있지만, 무 방향 그래프에 대한 동일한 문제는 # P- 완료 입니다.

흥미롭고 잘 알려지지 않은 경우는 다음과 같습니다. 가장자리 가중 그래프 와 루트 노드 이 있다고 가정 합니다 . 그래프의 에서 모든 노드 까지 에지 분리 경로 가 있도록 의 최소 ​​비용 하위 그래프를 원합니다 . 때 이것은 유 방향 그래프와 무향 그래프에서 최소 비용 arborescence 문제입니다. 이것은 MST 문제와 같습니다. 방향이 지정되지 않은 경우가 더 쉽지만 폴리 타임으로 해결할 수 있습니다. 그러나 문제는 모든 대한 직접 그래프에서 해결할 수있는 폴리 시간 이며 대한 무 방향 그래프에서 NP-Hard입니다 (최소 비용 캡처하기 때문에)$G$$r$$G$$k$$r$$k=1$$k$$k=2$$2$에지 연결 하위 그래프 문제).

어쩌면 이것이 가장 좋은 예는 아니지만 모든 정점을 정점 분리 (지시) 사이클로 커버하는 (지시) 사이클 커버를 고려하십시오. 지시 된 경우에, 이는 2 분자 매칭으로 감소되고 다항식 시간에서 해결 될 수있다. 방향이 정해지지 않은 경우, 문제는 2 분할이 아닌 일치 (또는 그 반대)로 줄어들 수 있으며, 이는 더 어려운 문제이지만 여전히 다항식 시간 해결이 가능합니다.

최근에 알았 듯이 지시되지 않은 그래프보다 지시되지 않은 그래프에서 실제로 더 어려워 보이는 문제가 있습니다.

포지티브 및 네거티브 에지 가중치가있는 그래프가 있고 네거티브 웨이트 사이클을 감지하라는 메시지가 표시됩니다. Goldberg'93 (AV Goldberg. 1993. Direct Paths for the short paths 문제에 대한 스케일링 알고리즘. SODA '93.)에서 O ( ) 시간에 실행되는이 그래프에는이 문제에 대한 스케일링 알고리즘이 있습니다. 여기서 은 모서리 수, 꼭지점 수, 는 모서리 가중치의 최대 절대 값입니다. 반대로, 무 방향 그래프에서 동일한 문제는 훨씬 더 나쁜 알고리즘을 가지고 있습니다. 내가 아는 한 가장 잘 알려진 것은 Gabow'83 (HN Gabow. 1983. 정도 제약이있는 하위 그래프 및 양방향 네트워크 흐름 문제에 대한 효율적인 축소 기술입니다. STOC '83.에서) 및 O (min (mnCn3,mnlog$m\sqrt{n}\log C$$m$$n$$C$$n^3, mn\log n$)) 시각. 동일한 런타임을 제공하는 T 조인을 사용하는 접근 방식도 있지만 어디에서 보았는지 기억하지 못합니다.

마이너스 사이클 문제는 SSSP (Single Source Shortest Paths) 알고리즘 설계에 중요하며 임의 가중치를 갖는 직접 및 비 방향 그래프에서 SSSP의 최상의 실행 시간이 동일한 런타임을 갖는 것은 놀라운 일이 아닙니다. O ( ) 및 O (min ( )).n3,mn로그$m\sqrt{n}\log C$$n^3, mn\log n$