무한히 크지 만 국소 적으로 유한 한 계산 문제

이 질문은 Jukka Suomela가 다른 질문 에 대해 한 의견에서 영감을 얻었습니다 .

무한대로 크지 만 국소 적으로 유한 한 계산 문제 (및 알고리즘)의 예는 무엇입니까?

다시 말해, 각 Turing Machine이 유한 데이터 만 읽고 처리하는 무한 시간 동안 정지되는 계산의 예는 무엇입니까?

가능한 (그러나 다소 사소하지 않은) 것에 대한 아이디어를 제공하기 위해 한 가지 예가 있습니다. 경계도 그래프에서 최대 가장자리 패킹 을 찾는 분산 알고리즘입니다 .

문제 정의

단순한 무 방향 그래프 주어지면 , 엣지 패킹 (또는 분수 매칭)은 가중치 w ( e ) 를 각 엣지 e ∈ E 와 연관 시키므로 각 노드 v ∈ V 에 대해 발생하는 엣지의 총 가중치는 v 는 최대 1 입니다. 입사 에지의 총 중량이 1 과 같으면 노드가 포화 상태 입니다. 모든 모서리가 하나 이상의 포화 된 끝점을 갖는 경우 모서리 패킹은 최대입니다 (즉, 어떤 무게도 탐욕스럽게 확장 될 수 없음).$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

최대 매칭 가 최대 엣지 패킹을 정의 함을 관찰하십시오 (세트 w ( e ) = 1 iff e ∈ M ); 따라서 고전적인 중앙 집중식 환경에서 쉽게 해결할 수 있습니다 ( G 가 유한 한 것으로 가정 ).$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

가장자리 패킹은 실제로 일반적인 TCS 의미로 응용 프로그램을 정의하는 경우 실제로 일부 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 포화 노드 세트 는 최소 정점 커버 의 근사값을 형성합니다 (물론 유한 G 의 경우에만 의미가 있습니다 ) .$2$$G$

계산 모델

우리는 글로벌 상수의가 있다고 가정합니다 어느 정도 그런 V는 ∈ V가 가장에 있습니다 Δ .$\Delta$$v \in V$$\Delta$

이것을 원래 질문의 정신에 가깝게 유지하려면 다음과 같이 계산 모델을 정의하십시오. 우리는 각 노드 가정 튜링 기계 및 에지이다 { u는 , V } ∈ E는 사이의 통신 채널 인 U 와 V는 . 의 입력 테이프 V는 도 인코딩 ℃에서 ( V ) 의 브이 . 각 V ∈ V 의 입사가 에지 V 정수으로 (임의의 순서로) 라벨링되어 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; 이를로컬 에지 레이블이라고합니다( { u , v } ∈ E 의 레이블은 u 및 v에 대해 다를 수 있음). 기계에는 이러한 각 모서리를 통해 메시지를 보내고받을 수있는 지시 사항이 있습니다. 기계는 로컬 모서리 레이블을 사용하여 인접 장치를 처리 할 수 ​​있습니다.$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

기계 는 G에 대해 유효한 모서리 패킹 을 계산해야합니다 . 보다 구체적으로, 각각의 V ∈ V는 그 출력 테이프의 부호화 출력한다 w ( E ) 각 에지에 대한 전자 에 입사 V 로컬 에지 라벨의 지시를하고 중지.$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

우리는 분산 알고리즘 말 시간에 최대의 가장자리 포장 발견 T를 다음 어떤 그래프 보유하고있는 경우, G 최대 학위의 Δ , 그리고 로컬 가장자리 라벨링 G : 우리의 각 노드 교체 할 경우 G를 의 동일한 사본 튜링 머신 A 를 시작하고 머신을 시작한 다음 T 단계 후에 모든 머신이 유효한 (전역 적으로 일관성있는) 솔루션을 인쇄하고 중지합니다.$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

인피니티

이제 노드 집합 가 셀 수없이 무한 하더라도 위의 모든 내용이 완벽하게 이해됩니다 .$V$

문제 공식화와 계산 모델에는 직접 또는 간접적으로. 각 Turing 머신의 입력 길이는 상수에 의해 제한됩니다.$|V|$

알려진 것

가 무한 하더라도 문제는 유한 시간 안에 해결 될 수 있습니다 .$G$

어떤 의사 소통이 필요하다는 점에서 문제는 사소한 것이 아니다. 또한, 실행 시간은 의존한다 . 그러나, 임의의 고정 된 Δ 에 대해, 문제는 G 의 크기에 관계없이 일정한 시간에 해결 될 수있다 ; 특히, 문제는 무한히 큰 그래프에서 해결할 수 있습니다.$\Delta$$\Delta$$G$

위에서 정의한 모델에서 가장 잘 알려진 실행 시간을 확인하지 않았습니다 ( 현장에서 사용되는 일반적인 모델 은 아님 ). 그럼에도 불구하고, 다항식 러닝 타임은 달성하기가 쉬워야하며, Δ의 서브 라인 인 러닝 타임 은 불가능하다고 생각합니다.$\Delta$$\Delta$

차세대 Cellular Automaton 찾기 .

이것은 일정한 시간에 설명 된대로 해결할 수 있습니다. $\;$ (즉, 입력과 무관)

기본적으로 최소한 채색만큼 어려운 모든 문제에는 네트워크의 노드 수에 따라 실행 시간이있는 알고리즘이 필요하므로 무한하지만 로컬 유한 그래프에서는 작동하지 않습니다. 이는 Linial의 주요 로그 * n 하한 에서 나옵니다 .

$AC^0$$AC^0$