MAX 3SAT를위한 초 다항식 시간 근사 알고리즘

PCP 정리는 아닌 한 만족할만한 3SAT 공식의 절을 만족하는 할당을 찾기 위해 MAX 3SAT에 대한 다항식 시간 알고리즘이 없다고 명시하고 있습니다 .$7/8+ \epsilon$$P = NP$

절의 을 만족시키는 사소한 다항식 시간 알고리즘이 있습니다. 그래서 우리가 다항식 알고리즘을 허용한다면 보다 더 잘할 수 있습니까 ? 준 다항식 시간 알고리즘 ( ) 또는 하위 지수 시간 알고리즘 ( )으로 얻을 수있는 근사 비율은 무엇입니까 ? 그러한 알고리즘에 대한 참조를 찾고 있습니다.$7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

하나는 얻을 수 MAX3SAT에 대한 근사치를한다는 점에서 실행 이 O ( ε의 N ) 너무 많은 문제가없는 시간입니다. 여기 아이디어가 있습니다. 변수 세트를 각각 ε n 변수 의 O ( 1 / ε ) 그룹으로 나눕니다 . 각 그룹에 대해 모든 노력 이 ε N 그룹의 변수를 할당하는 방법을. 각각 감소 화학식 들어 Karloff Zwick의 실행 및 7 / 8 -approximation한다. 이러한 모든 시행에서 최대 수의 조항을 만족하는 과제를 출력합니다.$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

요점은 최적의 할당 (해당 블록으로 제한됨)이 이미 충족 된 최대 절 수의 분율을 충족하도록 일부 가변 블록이 있다는 것입니다 . 여분의 절은 정확히 맞을 것이고 Karloff와 Zwick을 사용하여 나머지 부분의 7 / 8 을 얻습니다 .$\varepsilon$$7/8$

동일한 유형의 근사치에 대해 시간을 얻을 수 있다면 흥미로운 질문 입니다. 3SAT를 다항식 시간에서 MAX3SAT로 줄일 수있는 "선형 PCP 추측"이 있습니다.$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• 3SAT 인스턴스를 만족할 수 있으면 MAX3SAT 인스턴스를 완전히 만족시킬 수 있습니다.
• 3SAT 인스턴스 시켰음이면 MAX3SAT 인스턴스가 아닌 만족할 및$7/8+\varepsilon$
• 감소는 공식 크기를 만큼 증가시킵니다.$poly(1/\varepsilon)$

이 선형 PCP 추측하는 가정 - 시간 7 / 8 + ε 모두, 근사 C 및 ε , 3SAT는 것을 수반 2 ε N 모든 시간 ε . (여기서 m 은 절 수입니다.)이 증거는 Impagliazzo, Paturi 및 Zane의 Sparsification Lemma를 사용합니다.$2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Ryan Williams가 마지막 단락에서 쓴 내용을 다소 다시 설명하려면 :

함수가 있다는 Moshkovitz-라즈 정리 프로그램 등 맥스 3Sat가 될 수 있다면 있음 ( 7 / 8 + 1 / ( 로그 로그 N ) .000001 ) 에 -approximated 시간 T ( n ) 이면 3Sat의 결정 버전은 시간 2 o ( n $T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$. 후자는 불가능하다 (이것은 지수 시간 가설이다).이 경우 전자도 불가능하다. 정확하게 표현하지 않기 위해 Max-3Sat의 경우 전체 지수 시간보다 을 뛰어 넘을 수 없습니다 .$7/8$