약한 대수 동질 체 같은 것이 있습니까?

주어진 endofunctor , 우리는에 대한 다형성 함수로서 관찰 기능을 정의 할 수 있다 -coalgebra, 어떤 정의되어 -coalgebra . 관측 기능을 보는 또 다른 방법은 최종 기능입니다 $F : Set \rightarrow Set$ $F$ $obs$ $F$ $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to B

$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$

대수학이있는경우. 우리는 최종

대수학에고유 한 동형을 갖는 관측 함수를 구성함으로써 다형성을 자동으로얻는다. 그러나 이것은 최종

대수학이 존재하는경우에만 작동합니다.

F

$F$

F

$F$

F

$F$

관측 함수의 정의 특성 중 하나는 다형성으로 인해 오른쪽에 구성된 대수 균질 동질성을 취소한다는 것입니다. 경우 입니다 다음 -coalgebra의 이체 동형 : 내 연구하는 동안, 하나 coalgebra 다른 사이 관찰 일관성의 개념을 정의하기위한 시도가 나는 생각을했다 약한 대수 동질성. 우리는 관측 기능을 미리 알고 있다면 대수 동질성을 "가짜"만들 수 있다는 아이디어입니다. 따라서 우리는 $hom$ $F$

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

오직 하나의 특정

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

o b s

$obs$

예를 들어 보자 , 그리고하자 로 정의 할 $FX = \{0,1\} \times X$ $obs$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to {0, 1}^{2}

$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$

즉,

스트림의 처음 두 요소 걸린다.

o b s = ⟨ (π_{1} \circ c), (π_{1} \circ c \circ π_{2} \circ c) ⟩

$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$

o b s

$obs$

위한 약한 반면, 동형 그리고, F-coalgebra의 동형은 그 스트림의 모든 요소가 유지되도록 할 필요가 단지 스트림의 처음 두 요소를 보존 할 필요가있다. $obs$

필자의 연구에서,이 개념은 모든 유한 선형 관측 함수가 첫 번째 대수에서 두 번째 대수로에 약한 동질성을 가지고 있음을 보여줌으로써 하나의 대수가 다른 대수와 관측 적으로 일치 함을 보여주기 위해 유용 할 것입니다. 다시 말해, 첫 번째 대수에 대한 모든 유한 선형 관측은 두 번째 대수에 재현 될 수 있습니다.

( 선형 관찰 기능의 의미 는 대부분 관련이 없지만 공유를 위해 ... 선형 관찰 기능은 캐리어 세트의 각 상태를 한 번만 사용하는 기능입니다. oracle을 모델링하려고합니다. 사용자는 되돌아 가서 질문을 한 적이없는 척할 수 없습니다.)

내 질문은 따라서 :

이것이 연구 되었습니까? "약한 연체 동질 체"가 이미 다른 이름으로 존재합니까?
이것을 제시하는 더 "범주 이론"이 있습니까?

편집 : 중요하지 않은 두 가지 질문을 제거했습니다.

ct.category-theory

— 프란시스코 모타
소스

컴퓨터 과학 Q & A 사이트가이 질문에 적합한 장소라고 생각할만한 이유가 있습니까?

— 사쇼 니콜 로프

F

$F$

F

$F$

컴퓨터 과학에 대한 응용의 예로서, (때때로 암호화에 사용되는) 구별 할 수없는 개념은 약한 동질성 (homomorphism)으로 정의 될 수있다.

— Francisco Mota

나는 이것이 어디에서 이루어졌고 무언가를 증명하는 데 사용되는 참조를보고 싶어합니다.

— Sasho Nikolov

O

$O$

O

$O$

⟨ A, α ⟩

$\langle A, \alpha \rangle$

⟨ B, β ⟩

$\langle B, \beta \rangle$

f : A \to B

$f: A \to B$

β^{O} \circ f = O (f) \circ α^{O}

$\beta^O \circ f = O(f) \circ \alpha^O$

O

$O$

답변:

당신이 묘사하는 '약한 형태'는 이름이 약간 제한되어 있습니다. 그것들은 또한 내가 설명 하듯이 상당히 일반적으로 정의 될 수 있습니다.

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $\mathsf{Set}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha \leq \omega$ . 대수학에 앞서, 모달 논리 학자들은 Kripke 프레임에 대한 n- 단계 이중 시뮬레이션을 연구했는데, 이는 powerset functor에 대한 대수에 대한 n- 단계 bisimulation에 해당합니다. 관계에 반대되는 기능이어야한다는 요구 사항에 따라 기능 n- 단계 이분법이 수행됩니다.

$\mathbb{C}$ $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $T$ $\mathsf{Set}$ $\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{Set}$ $1 = \{*\}$ $!_{T1} : T1 \to 1$ $\mathsf{Set}$ $T1$ $*$ $T^n 1$ $T$ $T^\omega 1$ $\omega$ $T^\alpha 1$ $\alpha$

$T$ $(Z,\gamma)$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$ $\alpha$ $\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$ $\alpha$ $T$ $(A,\gamma)$ $(B,\delta)$ $\mathbb{C}$ $f : A \to B$ $\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$ $f(z)$ $\delta$ $\alpha$ $z$ $\gamma$

어쨌든, 이것이 도움이되기를 바랍니다. 'terminal sequence coalgebra'또는 'final sequence coalgebra'를 인터넷 검색하여 다양한 참조를 찾을 수 있습니다.

— 롭
소스

α

$\alpha$

o b s : T^{α} 1 \to B

$\mathsf{obs}:T^\alpha 1 \to B$

o b s \circ {b e h}_{δ}^{α} \circ f = o b s \circ {b e h}_{γ}^{α}

$\mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

z

$z$

f (z)

$f(z)$

z^{'}

$z'$

f (z^{'})

$f(z')$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β \leq α

$\beta \leq \alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

ω

$\omega$

2 \times I d : S e t \to S e t

$2 \times Id : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega + 1}$

α

$\alpha$

X \mapsto (2 \times X)^{2}

$X \mapsto (2 \times X)^2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

일반적으로 개념이 보편적이 아닌 한 약한, 규칙적인, 보통 등과 같은 과부하 된 용어를 피해야합니다. 특히, 당신의 개념은 화살표 뒤집기 후 약한 동질성 개념과 일치하지 않는 것 같습니다 .

아마도 "ow-homomorphism"으로 단축 된 "관측 적으로 약화 된 동형화 (homomorphism)"와 같이 덜 보편적 인 일을 할 때마다 항상 더 많은 용어가있다.

관측 함수 개념은 이미 범주 이론 프레젠테이션을 제공합니다. 나는 그것이 가장 일반적인 의미를 찾는 것이 아니라 그것이 무엇을 의미하는지, 그것이 왜 흥미로운 지 명확히하는 것에 대해 더 걱정하고 있습니다. 특히 인쇄물에 특이한 개념을 도입 할 때는 일반적으로 유익한 예와 비 예제를 제공해야합니다.

— 제프 버지스
소스

답변 감사합니다. 보다 구체적인 이름을 사용하도록 권장합니다. 나는 여전히 Jan Rothe ( citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 )의 Weak Bisimulations에 관한 논문을 읽고 그것들이 위의 정의와 어떻게 관련되어 있는지 결정하려고합니다. 조기에) 그들이 다르다는 것을 확신했다. 다시 한번 감사합니다.

— Francisco Mota