랜덤 큐빅 그래프의 진폭

연결된 랜덤 큐빅 그래프 of reg 에서 추출한 정점 ( 여기서 정의 된대로 , $G=(V,E)$ $n =|V|$ $G(n, 3$ $)$ $3n$ 짝수 및 두 개의 그래프가 동일한 확률을 가지고).

물론 거기 가능한 너비 우선 검색 결과, 각각의 시작 노드에 대한 하나 . 노드 에서 시작 하는 너비 우선 탐색 는 레벨 를 각 노드 할당합니다. 여기서 는 에서 와 사이 거리입니다. $n$ $s \in V$ $B_G$ $s \in V$ $d(s, v)$ $v \in V$ $d(s, v)$ $s$ $v$ $G$ .

우리는 너비 우선 탐색 있다고하자 또한 레벨 할당 각 에지에 . $B_G$

L (s, {u, v}) = max {d (s, u), d (s, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e = {u, v} \in E

$e=\{u,v\} \in E$

특정 너비 우선 탐색을 감안 ,하자 레벨을 할당 된 에지의 숫자 하고하자 . 다시 말해 는 다른 레벨보다 많은 에지를 포함하는 레벨의 에지 수입니다. 마지막으로 최대로 하자 $B_G$ $\alpha(B_G,i)$ $i$ $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ $\alpha(B_G)$ $\alpha(G)$ 의 모든 대 의 너비 먼저 검색 . $\alpha(B_G)$ $n$ $G$

우리가 부르 자 진폭 의 . $\alpha(G)$ $G$

질문

이 무한대 인 경향에 따라 의 예상 값은 어떻게 증가 합니까? 리콜 이다 입방 임의 . 보다 정확하게, 내가 정말로 알고 싶은 것은 의 예상 값이 속 하는지 여부 입니다. $\alpha(G)$ $n$ $G$ $\alpha(G)$ $o(n)$

이후 짝수, 한계는 내가 이상한의 상관 없어 너무 간주 의. $n$ $n$

graph-theory co.combinatorics

— 조르지오 카메라 니
소스

(1) 3 차 그래프를 그릴 확률 분포를 지정하십시오. (2)

의 함수 또는 다른 것에 대한

의 기대에 관심 이 있습니까? (3)

이 짝수 라고 가정합니다 (그렇지 않으면 입방 그래프가 존재하지 않습니다). 그래서 나는 당신이 홀수

신경 쓰지 않도록 한계가 고려된다고 생각합니다 .

α (G)

$\alpha(G)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— 오카모토 요시오

@YoshioOkamoto : (1) stanford.edu/class/msande337/notes/…에 정의 된

-reg

에서 (

은 짝수이며 두 그래프는 동일한 확률을 갖습니다). (2) 나는이 점을 명확히하기 위해 질문을 풍부하게했다. (3) 예,

은 짝수이며 한계는 홀수

신경 쓰지 않도록 고려됩니다 .

G (n, 3

$G(n, 3$

)

$)$

3 n

$3n$

n

$n$

n

$n$

— Giorgio Camerani

@SureshVenkat : 질문의 가독성을 개선해 주셔서 감사합니다 ;-)

— Giorgio Camerani

랜덤 큐빅 그래프에

에 대한 농도 결과가있을 가능성이 매우 높습니다. 즉 , 예상 값, 높은 확률 값 등이 모두 동일하다는 것을 의미합니다. OP가 명확하지 않으면 이러한 질문에 대한 답변이이 질문에 대한 합리적인 답변이라고 생각합니다.

α (G)

$\alpha(G)$

— 피터 쇼어

@WalterBishop : 하나 더 질문하겠습니다.

연결이 끊어진 경우

어떻게 정의 합니까?

α (G)

$\alpha(G)$

G

$G$

— 오카모토 요시오

답변:

익스팬더 그래프 의 진폭 입니다. 임의의 3 정규 그래프는 거의 확실하게 확장 그래프입니다 (Wikipedia 참조) . 확대 그래프가 아닌 확률 은 이 때 이되기 때문에 진폭의 기대치는 입니다. $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

파라미터와 확장기 그래프 의 모든 세트에 대해, 꼭지점 있다 세트의 이웃. 지금 수준에서 정점의 수 있도록 BE 함께 . 그런 다음 가 너무 크지 않은 한 (즉, 정점의 절반을 아직 포함하지 않은) 확장 속성에서 $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$ 이제정점을 포함하는 레벨를찾으십시오.

ℓ_{j} \geq β \sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i}

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓ_{j}

$\ell_j$

. 즉,

및

입니다. 이 레벨이 크면 (즉,

) 완료됩니다. 그렇지 않으면 다음 레벨의 크기는

\frac{n}{3}

$\frac{n}{3}$

\sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i} < n / 3

$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

\sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq n / 3

$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$

ℓ_{j} \geq n / 6

$\ell_j \geq n/6$

그리고 우리는 끝났습니다.

ℓ_{j + 1} \geq β \sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq β \frac{n}{3},

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

이 증명은 가장자리 수 (OP가 요청한 것)가 아닌 레벨의 꼭짓점 수를 살펴 보지만 , 각 꼭짓점에 도달해야하기 때문에 적어도 단계의 꼭짓점은 레벨 꼭짓점 수만큼 추가됩니다. 가장자리에 의해. $i$ $i$

— 피터 쇼어
소스

답변 주셔서 감사합니다! 이것은 매우 놀랍습니다 (적어도 나에게) : 총 가장자리 수가

이고 레벨 수가 붐비는 레벨 인

여전히 가장자리가

입니다. 따라서 가장자리가 레벨 사이에 균일하게 분산되지 않은 : 내 (경험, 잘못된) 직관은 몇 초기 수준과 거의 최종 단계를 제외하고, 그 것이었다,이 있었어야

m = 1.5 \cdot n \in Θ (n)

$m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$ 그 가운데 가장자리가 다소 균일하게 흩어져 있었을 것입니다.

— Giorgio Camerani

"empirical"을 사용하면 실제로 테스트를 실행 했습니까?

관한

입방 임의의 그래프에 대한 참조 ftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf

β

$\beta$

0.1845

$0.1845$

— didest

예,

에서

까지 테스트를 실행 하고 수량

측정했습니다.

n = 100

$n = 100$

n = 150000

$n = 150000$

. 경우

되었을 때

으로

증가이 그 경험적 증거 주어진 것이다

. 약

대한이었다

의 주위에있는 동안,

근처에 있었다

(때문에 물론 나는 경험적 증거로이 숫자를 고려 적이의

여전히 근사를 표현하기에 너무 작습니다). 하지만 내가 "직관적 인 직관"이라고 말했을 때

k = \frac{α (G)}{m}

$k = \frac{\alpha(G)}{m}$

k

$k$

0

$0$

n

$n$

α (G) \in o (n)

$\alpha(G) \in o(n)$

n = 100

$n=100$

k

$k$

0.3

$0.3$

n = 150000

$n=150000$

k

$k$

0.26

$0.26$

n = 150000

$n = 150000$

— Giorgio Camerani

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

O (\frac{n}{l o g (n)})

$O(\frac{n}{log(n)})$

Peter Shor의 답변은 실제로 훌륭하지만 이에 대한 또 다른 방법이 있습니다. 트리 폭이 진폭의 두 배 (정점 버전)에 의해 상한이라는 것을 증명합니다. 우리가부터 알고 3 일반 확장기 선형 treewidth을 가지고, 우리가 수행됩니다.

BFS 트리가 주어지면 트리 분해 구성을 참조하십시오.이 프리젠 테이션의 슬라이드 15입니다 : http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

모든 가방의 크기가 최대 너비의 두 배 상한에 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

— didest
소스

귀하의 답변에 감사드립니다. 프레젠테이션은 매우 도움이되었습니다.

— Giorgio Camerani