구의 들로네 삼각 분할이 최소 각도를 최대화합니까?

평면의 들로네 삼각 분할은 삼각형의 최소 각도를 최대화합니다. 구체의 점들의 들로네 삼각 분할에 대해서도 마찬가지입니까? (여기서 "각도"는 정점에서 정점 주위의 로컬 각도입니다).

Math.SE에 관한 이 질문 에서 영감을 얻었지만 관련 이 없습니다.

cg.comp-geom delaunay-triangulation

확실히이 속성은 구체의 작고 평평한 지역에 국한된 세트를 보유 할 것입니다. 왜냐하면 그것이 다기관이기 때문입니다. 실제 질문은 점이 구를 가로 질러 퍼짐에 따라 속성이 희생되는지 여부입니다. 내 생각에 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)을 처음에는 유클리드의 경우보다 지방 삼각형이 더 많이 필요하므로 재산이 유지 될 것입니다.

— Josephine Moeller

그러면 구의 일반 점에서 입체 투영이 원을 원으로 매핑하고 적합성으로 인해 교차 곡선 (~ 가장자리) 사이의 각도를 유지한다는 사실을 따르지 않습니까? 아니면 뭔가 빠졌습니까?

— 누군가

@someone Yep, 그렇게해야합니다. 적어도 그것의 대부분. 장애가있을 수 있지만 중심 아이디어가 될 것입니다. 나는 그것에 대해 궁금했다. 나는 입체 매핑이 컨 포멀하다는 것을 몰랐다.

— Josephine Moeller

@SureshVenkat 이제 당신은 쌍곡 공간에 대해 언급했을 것입니다. 쌍곡선 공간에서는 "불법적 인"circcirccircles (즉, hypercycles 및 horocycles)가 있다는 사실을 고려해야합니다. 구형 공간에서는 그렇지 않습니다. 항상 세 점을 통과하는 원을 찾을 수 있습니다.

— Josephine Moeller

나는 이것이 효과가 있다고 생각하지 않습니다. 삼각형의 가장자리 사이의 각도를 측정하기 때문에 투영이 큰 원을 선으로 가져 오도록하고 싶습니다 (큰 원 / 직선). 입체 투영으로는이 작업을 수행 할 수 없다고 생각합니다. 구의 중심점에서 투영하여이 작업을 수행 할 수 있으며, 원을 타원으로 만듭니다.

— 피터 쇼어

첫 번째 주장 : 이것은 나의 첫 번째 대답이었습니다. 이 주장은 잘못되었습니다. 아래의 두 번째 주장을보십시오.

나는 그것이 사실이라고 생각하지 않습니다. 평면에서 작동하는 이유는 원에서 코드에 의해 내접 된 각도가 해당 중심 각도의 절반이기 때문입니다. 따라서 작은 각도의 삼각형이 있다면 반대쪽 가장자리와 더 큰 각도를 이루는 점은 빈 들로네 (Delaunay) 원 안에 있으므로 삼각 측량을 찾는 구성의 점 중 하나가 아닙니다.

이제 구에 들로네 삼각 분할이 있다고 가정합니다. 구의 중심에 점을 놓고 모든 피온을 평면에 투영합니다. 삼각형의 가장자리 (구상의 큰 원)는 모두 선분으로 이루어집니다. 그러나 빈 공 속성을 제공하는 원은 타원으로 이동하므로 투영 된 타원 외부에 있지만 삼각형의 원주 내부에 점이 있으면이 점이 모서리와 더 큰 각도를 만듭니다.

편집하다:

잠깐만 중앙 투영은 각도를 유지하지 않기 때문에이 대답은 완전히 틀립니다. 내각에 대한 정리가 구체에 포함되지 않는다는 훨씬 더 복잡한 주장을 가지고 있기 때문에 여전히 추측이 틀렸다고 생각합니다. 다음과 같은 주장이 있습니다.

두 번째 주장 :

이것이 평면에서 유지되는 이유는 코드에 의해 내접 된 각이 해당 중심각의 절반이기 때문이다. 아래 다이어그램에서 우리는

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$ 과

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$ 빼기, 우리는 얻는다

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} X_{1} C X_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

형상 사진

이제 구면 기하학에서

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y + A (X_{2} C Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$ 과

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y + A (X_{1} C Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$ 어디

A (X Y Z)

$A(XYZ)$ 삼각형 XYZ의 면적을 의미합니다. 빼기, 우리는 얻는다

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} C X_{2} + A (X_{2} C Y) - A (X_{1} C Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

포인트의 위치 $Y$ 일정한 각도 만들기 $X_1YX_2$ 원이 되려면 면적의 차이가 $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ 호 길이에만 의존 $X_1X_2$ . 그러나 이것은 관측치와 호환되지 않습니다. $A(XCY)$ 이다 $0$ ...에 대한 $X$ 정반대 $Y$ 그리고 $X=Y$ 사이에 최대 크기로 자랍니다.

따라서 포인트의 위치 $Y$ 일정한 각도로 $X_1YX_2$ 원이 아닙니다. 이것은 일부 삼각형의 경우 $X_1YX_2$ 우리는 포인트를 찾을 수 있습니다 $Y'$ 외곽의 외곽 $X_1YX_2$ 그래서 각도 $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$ . 그런 다음이를 사용하여 구의 들로네 삼각 분할이 최소 각도를 최대화한다는 추측에 대한 반례를 만들 수 있습니다.

— 피터 쇼어
소스

나는이 질문이 그 까다로운 것으로 기대하지 않았다 :). 간절히 그림을 기다리고 있습니다.

— Suresh Venkat