대략적인 선형 디오 판틴 방정식 풀기

다음 문제를 고려하십시오.

입력 : 표준 이진 표현에서 벡터 a ∈ Z n 및 b ∈ Z 로 주어진 초평면 H = { y ∈ R n : a T y = b } .$H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$$\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$$b \in \mathbb{Z}$

출력 :$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

위의 표기법 에서 \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ n 및 S \ subseteq \ mathbb {R} ^ n에 대한 는 d (\ mathbf {x} , S) = \ min _ {\ mathbf {y} \ in S} {\ | \ mathbf {x}-\ mathbf {y}} \ | _2 즉, 일련의 점과 단일 점 사이의 자연 유클리드 거리입니다. .$d(\mathbf{x}, S)$$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$S \subseteq \mathbb{R}^n$$d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$

다시 말해, 우리는 초평면을 얻었으며 초평면에 가장 가까운 정수 격자의 점을 찾고 있습니다.

질문은 ~이야:

이 문제의 복잡성은 무엇입니까?

여기서 다항식 시간은 입력의 비트 크기에서 다항식을 의미합니다. 내가 알 수있는 한 문제는 두 가지 차원에서도 흥미 롭습니다. 그리고 그것은 만 솔루션을 고려하는 것이 충분 있는지 어렵지 않다 $(x_1, x_2)$ 와 $0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ 하지만 그 superpolynomially 많은 옵션을합니다.

밀접하게 관련된 문제는 선형 디오 판틴 방정식을 해결하는 것입니다. 즉, \ mathbf {a} ^ T \ mathbf {x} = b 와 같은 \ mathbf {x} \ in \ mathbb {Z} ^ n 찾기 또는 \ mathbf {x} 가 존재합니다. 따라서 선형 디오 판틴 방정식을 푸는 것은 위에서 정의한 문제에 대한 값 0의 해가 존재하는지 확인하는 것과 같습니다. 다항식 시간에 선형 다이 오판 틴 방정식을 풀 수 있습니다. 사실, 선형 다이 오판 틴 방정식의 시스템조차도 시스템을 제공하는 Smith \ mathbf {A} 행렬 의 Smith 정규형 을 계산함으로써 다항식 시간으로 풀 수 있습니다 . Smith 정규 형식의 정수 행렬을 계산하는 다항식 시간 알고리즘이 있습니다.$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$$\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$$\mathbf{x}$$\mathbf{A}$Kannan은과 Bachem는 .

선형 디오 판틴 방정식에 대한 직관을 얻으려면 2 차원 사례를 다시 고려할 수 있습니다. $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ 가 b를 나누지 않으면 정확한 해결책은 없습니다 $b$. 이 분할 않는 경우 $b$ , 당신은 두 개의 숫자 얻을 수있는 확장 된 GCD 알고리즘을 실행할 수 있습니다 $s$ 과 $t$ 등이 $a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ 과 세트 $x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ 및 $x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ 입니다. 이제 대략적인 버전이 어떻게 다른지 알 수 있습니다. $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ 가 b를 나누지 않을 $b$때 정수 x_1, x_2 는 어떻게 찾 $x_1, x_2$$(x_1, x_2)$ 와 선 a_1x_1 + a_2x_2 = b 사이의 거리 $a_1x_1 + a_2x_2 =b$가 최소화되도록?

나에게 문제는 격자에서 가장 가까운 벡터 문제처럼 들리지만 두 문제에서 다른 문제로 눈에 띄게 줄지는 않습니다.

더 많은 것을 생각하면, 나는이 문제에서 확장 된 GCD로 명백히 줄었다 고 생각합니다. 나는 그것을 설명 할 것 의 경우,하지만 난 그것을 임의의 확장 있다고 생각 . 이것은 초평면까지의 거리를 최소화 하는 를 발견 하지만 반드시 가장 작은 필요는 없습니다 (사실 동일한 최소 거리를 달성하는 무한히 많은 값이 있습니다)-후자의 문제는 또한 실현 가능하지만 아직 실제 생각을하지 않았습니다. 이 알고리즘은 몇 가지 간단한 원칙을 기반으로합니다.n = 2 n x $n=2$$n$ $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$

• 경우 에 의해 취해진 값의 다음 세트 정확하게 ; 또한, 값 및 와 (이 완전히 확장 유클리드 알고리즘)를 효율적으로 찾을 수있다.g = G C D ( a 1 , a 2 ) a ⋅ x = a 1 x 1 + a 2 x 2 { 0 , ± g , ± 2 g , ± 3 g , … } x 1 x 2 a 1 x 1 + a 2 x 2 = $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$$\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$$x_1$$x_2$$a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
• 초평면에서 격자의 점까지의 최소 거리는 격자의 점에서 초평면까지의 최소 거리입니다 (분명하지만 문제의 유용한 반전).
• 주어진 점 에서 초평면 까지의 거리는 비례합니다(특히, 이 값에 곱한 값이지만 모든 거리에이 값을 곱해도 최소 위치에는 영향을 미치지 않으므로 정규화 요소를 무시할 수 있습니다).x a ⋅ y = b | a ⋅ x − b | 1 / | $\mathbf{x}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$$1/|\mathbf{a}|$

이것은 다음 절차를 제안합니다.

• 계산 와 함께 되도록 .g = G C D ( a 1 , a 2 ) x 0 1 , x 0 2 a 1 x 0 1 + a 2 x 0 2 = $g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$$x^0_1, x^0_2$$a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
• 계산$r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$ 및 계산 ; 는 격자로부터 초평면까지의 (스케일 된) 최소 거리이다. 하자 이어야 또는 ( 제외하고 의 배수 인 ) 어느 하나가 도달 최소 거리에 따라.$d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$$d$$s$$r$$r+1$$=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$$b$$g$
• 계산 및 ; 그런 다음 는 와 의 가장 가까운 배수 이므로모든 격자 점에서이 거리의 최소값을 얻습니다.$x_1 = sx^0_1$$x_2 = s x^0_2$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$$g$$b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

내가 아는 한, 동일한 절차가 임의의 차원에서 올바르게 작동해야합니다. 핵심은 차원 GCD가 여전히 Bezout의 아이덴티티를 만족시키는 것이므로 격자 점까지의 최소 거리를 찾으려면 에서 의 가장 가까운 배수 만 찾으면 됩니다.$n$$g$$b$