쉬운 가제트에서 Planar Hamiltonian Cycle NP-Complete (Hamiltonian Cycle)을 증명하고 싶습니다.

Hamiltonian (짧은 햄) 사이클은 NP- 완료이고 Planar Ham Cycle은 NP- 완전한 것으로 알려져 있습니다. Planar Ham Cycle에 대한 증거는 Ham Cycle이 아닙니다.

그래프 G가 주어지면 모든 교차점을 평면 가제트로 대체하여 평면 그래프 G '를 갖도록 멋진 가제트가 있습니까?

G '에 햄 사이클이 있으면 G'에 햄 사이클이 있습니다.

(Ham 경로 또는 Directed Ham Cycle 또는 Directed Ham Path와 같은 변형에 만족합니다.)

— 빌 가스 자흐
소스

다소 사소한 관찰. 퍼가 가정

및 에지

및

와, 크로스

교차점 주위를 시계 방향으로 표시. 가제트하여 교체

네 접속점 갖는다

에 대응하는

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

. 만약

에서 hamiltonian cycle이edge

와

를모두 사용한다면

에서 해당 cycle은 self-crossed되어야합니다. 물론 이것은``가제트는 "이며, 또한의 해밀턴 사이클 것을 무엇을 가장 순진한 해석 가정

요구에 대응하는주기와 같은 가장자리를 따라

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— 마렉 크로 박

햄 사이클이란? 모든 사람이 약어를 이해한다고 가정하지 마십시오.

— Ito Tsuyoshi

@MarekChrobak : 귀하의 의견에 동의합니다. 논쟁에서 벗어날 수있는 두 가지 방법을 제시합니다. 나는 가장 자연스러운 일이 두 번째 생각 : 해밀 토니안 사이클이

에서

가 존재 IFF에 해밀 토니안 사이클

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— Bruno

@ 쓰요시 : 해밀턴 사이클을 의미합니다. 모든 사람이 알아낼 수 있다고 가정하는 것이 합리적이라고 생각합니다.

— domotorp

@ 빌 : 왜 그런 가제트가 있어야한다고 생각하는지 궁금합니다. 임의의 그래프를 평면에 임베드 할 때의 교차 수는 매우 클 수 있습니다 ( 완전한 그래프의 경우

-교차 음표 참조). 따라서

모서리와 많은 모서리 (2 차 근방) 가있는 그래프로 시작하는 경우 정점으로 추가 된 교차가 포함 된 포함 된 그래프의 구조는 완전히 다릅니다.

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

아니요. 적어도 한 번의 크로스 오버를위한 "좋은"가젯은 없습니다.

보자 및 우리가 대체 할 십자가합니다. $(a, b)$ $(x,y)$ 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

그래프 대한 많은 경우가 있지만 최소한 다음 네 가지를 만족시켜야합니다. 사례 1 : 최소 하나의 고조파주기가 있지만 어느 쪽 모서리도 사용하지 않습니다. 사례 2 : 하나 이상의주기가 있으며 모든주기는 두 모서리 중 하나를 정확하게 사용합니다. 사례 3 : 적어도 하나의 사이클이 있으며 모든 사이클은 양쪽 가장자리를 사용합니다. 사례 4 : 해밀턴 사이클이 없습니다. $G$

우리 가제트 (더 이상)의 각 정점 두있는 경우 모두 동일한 이웃 인접 (그래서 과 유지 '다음의 이웃) 반드시 여전히 평면 없습니다. 위의 첫 번째 경우를 만족시키기 위해 가젯에 새로운 정점을 가질 수 없습니다. $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

위의 사례 3을 충족하려면 가젯에 가장자리가 두 개 이상 있어야합니다. 평면 및 피복 쌍 또는 는 모두 사례 2를 충족하지 않으므로 세 번째 모서리가 필요합니다. 일반성을 잃지 않고이 세 개를 . $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

그러나 는 가 존재하지 않을 때 해밀턴 사이클을 포함 할 수 있기 때문에, 그 대체물은 네 번째 경우를 파괴한다 . 예를 들어 보자 여기서, 및 $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ . 는 평면이 아니며 해밀턴 사이클이 없습니다. $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

$G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

$(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

$(a, b), (a, y), (x, b)$

세 개의 모서리를 추가하면 사례 4가 중단되므로 더 추가해도 도움이되지 않습니다.

$a, b, x$ $y$

(참고 : 위의 오류가 있으면 알려주세요!)

( ~~참고 2 : 멋진 인물이 있었지만 게시 할 수는 없습니다~~ .

— 카일
소스

지금 그림을 게시 할 수 있어야한다고 생각합니다.

— Jukka Suomela