서브셋 조회 알고리즘

하위 집합의 목록 이 합니다. 필요한 경우이 목록에서 전처리를 수행 할 수 있습니다. 이 전처리 후에 다른 세트 됩니다. 세트 를 로 식별하고 싶습니다 .$\cal X$$\{1, ..., n\}$$A \subseteq \{1, ..., n \}$$B \in \mathcal X$$B \subseteq A$

명백한 알고리즘 (전처리없이)에는 시간 )가 걸립니다. 각 별도로 를 테스트하면 됩니다. 이것보다 더 좋은 것이 있습니까?$O(n |\cal X|)$$A$$B \in \mathcal X$

도움이된다면 에 대해 의 총 일치 수는 과 같은 것으로 묶여 있다고 가정 할 수 있습니다 .$A$$B \in \mathcal X$$O(1)$

이것은 답이 아닙니다. 간단하지만 긴 관찰입니다. 도움이 되길 바랍니다.

문제의 결정 버전은 다음과 같습니다. 에 의 하위 집합이 포함되어 있습니까?$\cal X$$A$

이 문제는 변수 의 모노톤 부울 함수를 평가하는 문제와 관련이 있습니다 . 의 하위 집합은 비트 열과 동일 하므로 패밀리 는 변수 의 부울 함수 와 같습니다 . 함수 주어 , 하나보다 더 큰 최소의 단조 함수를 정의 할 수있는 , 즉 . 원래 문제는 평가로 축소됩니다 . 반대로, 모노톤 부울 함수를 평가하는 문제는 를 취함으로써 순진하게 원래 문제로 줄일 수 있습니다.$n$$\{1,\ldots,n\}$$n$$\cal X$$f$$n$$f$$f$$g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$$g(A)$$f=g$또는 더 작게 하는 를 선택하여 .$f$$\cal X$

실제로 BDD는 잘 작동하는 경향이 있습니다. 따라서 대한 BDD를 빌드하고 대한 BDD를 파생 한 다음 를 평가하는 방법이 있습니다. 모노톤 부울 함수가 많으 므로 의 BDD 평균 크기는 이어야합니다 . 따라서 이론적으로 이것은 나쁜 해결책입니다.$f$$g$$g$$g$$\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

그러나 (1) 더 나은 분석이 가능할 수도 있고 (2) 더 나은 분석을 위해이 접근법에 대한 조정이있을 수도 있습니다. 예를 들어, 의 크기와 의 BDD 크기 사이의 상관 관계를 사용하지 않았습니다 . (상관 관계가 있어야하지만 여기서 간단하거나 사용 가능한지 모르겠습니다.)$\cal X$$g$

완전성을 위해, 대한 BDD로부터 대한 BDD를 계산하기위한 간단한 알고리즘 은 다음과 같다. 여기서 는 BDD에 대한 표준 운영입니다.$g$$f$

아마도 "정보 검색"기술을 사용할 수 있습니다. 전처리 단계에서 요소를 매핑하는 역 지수 ( 여기서는 간단한 이차원 배열이면 충분합니다)를 작성하십시오. 을 포함하는 의 세트에 대해 : .$n \times | {\cal X}|$$x_i \in \{1,...,n\}$$\cal X$$inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$

길이 의 정수 배열 설정 .$occ$$|\cal X|$

그런 다음 각 에 대해 검색 하고 각 대해$y_i \in A$$inv(y_i)$$X_j \in inv(y_i)$$occ[j] = occ[j]+1$

마지막에 필요한 세트는 입니다.$|X_j|=occ[j]$

두 개 이상의 요소를 함께 색인화하여 (지수 공간 비용으로) 프로세스 속도를 임의로 높일 수 있습니다.