최소 예상 l2 규범을 갖는 볼록 바디

원점과 대칭을 중심으로 볼록 바디 K를 고려하십시오 $K$(즉, $x\in K$ 이면 $-x\in K$ ). K ⊆ L 과 다음 측정 값이 최소화 되도록 다른 볼록 바디 L 을 찾고 싶습니다 .$L$$K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$(여기서$x$는 L에서 임의로 무작위로 선택한 점임)

나는 계수에 대한 일정한 요인 근사치로 괜찮습니다.

일부 메모 $K$ 자체가 답 이라는 첫 번째 직관적 추측 은 틀 렸습니다. 예를 들어, $K$ 가 매우 큰 치수의 얇은 실린더 라고 생각하십시오 . 그런 다음 우리가 얻을 수있는 $L$ 하도록 $f(L)<f(K)$ 시켜서 원점에 더 볼륨 가까이 있습니다.$L$

K 와 L 을 모두 타원체로 제한 하면 SDP를 사용하여 문제를 정확하게 해결할 수 있습니다. 나는 이것이 당신이 처음에 요구 한 것이 아니라는 것을 알고 있지만, 우리는이 제한된 경우에도 해결책이 없으며 아마도 도움이 될 수 있습니다.$K$$L$

E 가 입력 타원체이고 최적의 둘러싸는 타원체 J를 찾고 있다고 가정 해 봅시다 . 선형 맵 F st E = F B 2 및 맵 G st J = G B 2가 있으며, 여기서 B 2 는 단위 공입니다. 그런 다음 E x ∼ J [ ″ x ″ 2 2 ] = $E$$J$$F$$E = FB_2$$G$$J = GB_2$$B_2$n Tr(GTG). 또한E⊆J⇔J∘⊆E∘여기서E∘이는 IS극체의E. 편리하게,E∘={x:xTFTFx≤1}이고J∘={x:xTGTGx≤1$\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$$E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$$E^\circ$$E$$E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$$J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$. G T G - F T F 가 양의 반정의 행렬 인 경우에만 J ∘ ⊆ E ∘ (따라서 E ⊆ J )를 따릅니다 .$J^\circ \subseteq E^\circ$$E \subseteq J$$G^TG - F^TF$

SDP는 다음과 같이 정의됩니다. 대칭 PSD 행렬 M을 지정하면 대칭 PSD 행렬을 찾습니다. N st N - M 은 PSD이고 T r ( N ) 은 최소화됩니다. N 은 SDP를 풀면 찾을 수 있으며 SVD는 축과 축의 길이를 J로 지정 합니다.$M$$N$$N - M$$\mathsf{Tr}(N)$$N$$J$

(의견에서 언급 한 바와 같이, 다음 접근법은 작동하지 않습니다. 획득 한 물체는 볼록하지 않습니다. 그러나 최소 예상 거리를 가진 "별 모양"물체를 특징으로합니다.)

최적의 물체는 K 와 노점을 중심으로 한 공 의 결합 일 것이라고 생각합니다 . 여기 내 생각이 있습니다. 귀하의 정의에 의해 F ( L ) , F ( L ) ~ ∫ S D - 1 개 ∫ R의 L 0 X D ( X D / X D L$K$$f(L)$d x rLv o l ( L ) dxdS∼∫ S d-1r 2 Lv o l ( L ) dS∼∫ S d - 1 r 2 L dS∫ S D - 1 개 R L에 D를 S의 개발 E F = g(L),(R)의L이표면으로 원점으로부터의 거리L, 특정 방향. 상수를 삭제했기 때문에 = 대신∼를사용했습니다. 이제 우리는모든 방향을 따라rL≥rK제약 조건에서g(L)을 최소화하려고합니다. 공지 사항 경우 그연구의K몇 가지 방향을 따라가보다 작은g

$$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$$ $r_L$$L$$\sim$$g(L)$$r_L \ge r_K$$r_K$K ) / 2 , 우리는 약간 크게 만들 수 있습니다,하여 증가 말할 ε ≤ g ( K ) / 2 - r에 K 만들기 위해, g는 ( K ) 작은. 우리가 열거 증가하기 때문이다 ( R에서 L + ε ) 2 - , R 2 L = ε ( 2 (R)의 L + ε ) 인자 미만 g ( K $g(K)/2$$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$$g(K)$$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$$g(K)$분모의 증가. 따라서 우리는 점차적으로 객체를 약간 성장시키고 g ( ⋅ )를 업데이트 하여 g ( ⋅ ) 값을 더 작게 하여 K를 "변형"한다고 생각할 수 있습니다 . 하자 K는 * 결국 볼록 오브젝트합니다. 그런 다음 ∂ K ∗ ∖ ∂ K의 모든 지점 은 원점으로부터 거리 g ( K * ) / 2에 있습니다. 즉, K * 는 K 와 반경 g ( $K$$g(\cdot)$$g(\cdot)$$K^*$$\partial K^*\setminus \partial K$$g(K^*)/2$$K^*$$K$∗ ) / 2 .$g(K^*)/2$

실제로, g ( K ' ) = g ( K )가 되도록 다른 볼록한 물체 K '를 고려 한다 . 그런 다음 K * ⊆ K ' , 그렇지 않으면 우리는 K * 내부 에서 K ' 의 일부를 성장시켜 g ( K ' )를 더 작게 만들 수 있기 때문 입니다. 반면에 K ' ⊆ K ∗ , 그렇지 않으면 같은 생각으로 K ' ∖ K 의 일부를 K ∗ 외부로 축소 할 수 있기 때문에$K'$$g(K') = g(K)$$K^*\subseteq K'$$K'$$K^*$$g(K')$$K'\subseteq K^*$$K'\setminus K$$K^*$g ( K ' )를 더 작게 만들기 위해 . 따라서 고유 한 최적의 솔루션이 있습니다.$g(K')$

The following solution is based on the this assumpotion/conjecture [to be proved]:

Conjecture: The expectation of a convex function on $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ is smaller than the larger between the expectation on $K$ and the expectation on $K'$.

[We will need the above only for $K,K'$ convex, but is might be true in general]

Take now any set $K$ and apply a rotation $R$ to it centered on the origin, obtaining $R(K)$. You are going to have $f(K)=f(R(K))$, because the rotation leaves the length of the elements of $K$ invariant. If I am right about the conjecture, $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$. Since for any optimal $L$ you could consider $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$, where $\bigcup_R$ indicates the union over all rotations, and have $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$, it would seem that the optimal $L$ can be chosen to be the smallest sphere containing $K$.