최소 예상 l2 규범을 갖는 볼록 바디


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원점과 대칭을 중심으로 볼록 바디 K를 고려하십시오 K(즉, x KxK 이면 x KxK ). K L 과 다음 측정 값이 최소화 되도록 다른 볼록 바디 L 을 찾고 싶습니다 .LKL

f ( L ) = E ( x Tx )f(L)=E(xTx)(여기서xx는 L에서 임의로 무작위로 선택한 점임)

나는 계수에 대한 일정한 요인 근사치로 괜찮습니다.

일부 메모 -KK 자체가 답 이라는 첫 번째 직관적 추측 은 틀 렸습니다. 예를 들어, KK 가 매우 큰 치수의 얇은 실린더 라고 생각하십시오 . 그런 다음 우리가 얻을 수있는 L을L 하도록 F ( L ) < F ( K )f(L)<f(K) 시켜서 원점에 더 볼륨 가까이 있습니다.L


그만한 가치가 없다면 문제는 어려워 보입니다. 3D에서도 해결 방법이 명확하지 않습니다.
Sariel Har-Peled

2D로 최적으로 수행하는 방법이 분명합니까? 물론 2d에서 상수 팩터 근사는 흥미롭지 않습니다.
Ashwinkumar BV

나에게는 분명하지 않습니다. 타원체 www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf에 의해 모양을 근사화함으로써 모든 요소에서 일정한 계수 근사를 알 수 있습니다. 상수는 치수에 따라 다릅니다.
Sariel Har-Peled

상수가 치수에 의존하지 않는 상수 요인 근사에 더 관심이 있습니다.
Ashwinkumar BV

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당연히. 타원체 케이스조차도 분명하지 않습니다. 이 문제를 공격하려면 조사 할 첫 번째 버전이 될 것입니다. 직관적으로, 무시할 차원과 확장 할 차원을 결정해야합니다. 자연 솔루션은 타원체와 다른 타원체의 결합의 볼록 껍질처럼 보입니다. 여기서 새로운 타원체의 축은 일부 매개 변수 r과 같거나 다른 타원체와 같습니다.
Sariel Har-Peled

답변:


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KL 을 모두 타원체로 제한 하면 SDP를 사용하여 문제를 정확하게 해결할 수 있습니다. 나는 이것이 당신이 처음에 요구 한 것이 아니라는 것을 알고 있지만, 우리는이 제한된 경우에도 해결책이 없으며 아마도 도움이 될 수 있습니다.KL

E 가 입력 타원체이고 최적의 둘러싸는 타원체 J를 찾고 있다고 가정 해 봅시다 . 선형 맵 F st E = F B 2 및 맵 G st J = G B 2가 있으며, 여기서 B 2 는 단위 공입니다. 그런 다음 E x J [ x 2 2 ] = 1EJFE=FB2GJ=GB2B2n Tr(GTG). 또한EJJE여기서E∘이는 IS극체E. 편리하게,E={x:xTFTFx1}이고J={x:xTGTGx1}ExJ[x22]=1nTr(GTG)EJJEEEE={x:xTFTFx1}J={x:xTGTGx1}. G T G - F T F 가 양의 반정의 행렬 인 경우에만 J E (따라서 E J )를 따릅니다 .JEEJGTGFTF

SDP는 다음과 같이 정의됩니다. 대칭 PSD 행렬 M을 지정하면 대칭 PSD 행렬을 찾습니다. N st N - M 은 PSD이고 T r ( N ) 은 최소화됩니다. N 은 SDP를 풀면 찾을 수 있으며 SVD는 축과 축의 길이를 J로 지정 합니다.MNNMTr(N)NJ


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(의견에서 언급 한 바와 같이, 다음 접근법은 작동하지 않습니다. 획득 한 물체는 볼록하지 않습니다. 그러나 최소 예상 거리를 가진 "별 모양"물체를 특징으로합니다.)

최적의 물체는 K 와 노점을 중심으로 한 공 의 결합 일 것이라고 생각합니다 . 여기 내 생각이 있습니다. 귀하의 정의에 의해 F ( L ) , F ( L ) ~ S D - 1 개R의 L 0 X D ( X D / X D L )Kf(L)d x rLv o l ( L ) dxdS S d-1r 2 Lv o l ( L ) dS S d - 1 r 2 L dSS D - 1 개 R L에 D를 S의 개발 E F = g(L),(R)의L이표면으로 원점으로부터의 거리L, 특정 방향. 상수를 삭제했기 때문에 = 대신를사용했습니다. 이제 우리는모든 방향을 따라rLrK제약 조건에서g(L)을 최소화하려고합니다. 공지 사항 경우 그연구의K몇 가지 방향을 따라가보다 작은g(

f(L)Sd1rL0xd(xd/xdL)dxrLvol(L)dxdSSd1r2Lvol(L)dSSd1r2LdSSd1rLdS=defg(L),
rLLg(L)rLrKrKK ) / 2 , 우리는 약간 크게 만들 수 있습니다,하여 증가 말할 ε g ( K ) / 2 - r에 K 만들기 위해, g는 ( K ) 작은. 우리가 열거 증가하기 때문이다 ( R에서 L + ε ) 2 - , R 2 L = ε ( 2 (R)의 L + ε ) 인자 미만 g ( K )g(K)/2ϵg(K)/2rKg(K)(rL+ϵ)2r2L=ϵ(2rL+ϵ)g(K)분모의 증가. 따라서 우리는 점차적으로 객체를 약간 성장시키고 g ( )를 업데이트 하여 g ( ) 값을 더 작게 하여 K를 "변형"한다고 생각할 수 있습니다 . 하자 K는 * 결국 볼록 오브젝트합니다. 그런 다음 K K의 모든 지점 은 원점으로부터 거리 g ( K * ) / 2에 있습니다. 즉, K *K 와 반경 g ( KKg()g()KKKg(K)/2KK ) / 2 .g(K)/2

실제로, g ( K ' ) = g ( K )가 되도록 다른 볼록한 물체 K '를 고려 한다 . 그런 다음 K *K ' , 그렇지 않으면 우리는 K * 내부 에서 K ' 의 일부를 성장시켜 g ( K ' )를 더 작게 만들 수 있기 때문 입니다. 반면에 K 'K , 그렇지 않으면 같은 생각으로 K 'K 의 일부를 K 외부로 축소 할 수 있기 때문에Kg(K)=g(K)KKKKg(K)KKKKKg ( K ' )를 더 작게 만들기 위해 . 따라서 고유 한 최적의 솔루션이 있습니다.g(K)


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어쩌면 내가 뭔가를 잃어 버렸지 만 왜 이런 방식으로 객체가 볼록합니까?
mjqxxxx

@mjqxxxx 당신이 맞아요. 내가 어떻게 그리워했는지 ...
user7852

어떻게 다음과 같은 아이디어에 대해 : 즉, 타원체가 아니라 볼록 객체가 어떤 타원체로 근사 할 수있는 것으로 알려져있다 E K 그러한 E KK EKD EK. 그런 다음f(EKKdEKd EK)는대략비율d를 사용하여f(K)와근사합니다. K를포함하는모든L의경우f(dEK)f(K)dLKD EK차원E의L. √를 포함하는 최적의 타원체E를찾을 수 있다면dEKdELEd EK,f(E)d2f(L). E계산 방법을 모르겠습니다. 그러나 축이 의 축과 정렬되는 것 같습니다.dEKf(E)d2f(L)Ed EK및 모든 고유 값dEKD EK어떤 임계치 이하가 해당 임계 값으로 상승된다. dEK
user7852

L이 볼록한 몸체로 제한되지 않으면 K와 공의 결합에 동의합니다.
Ashwinkumar BV

The idea of using ellipsoid won't give you a constant factor. It can give at best a dd approximation. My conjecture is that convex hull of LL with a ball of appropriate radius is a constant factor approximation. I am not sure how to prove or disprove the conjecture.
Ashwinkumar B V

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The following solution is based on the this assumpotion/conjecture [to be proved]:

Conjecture: The expectation of a convex function on conv(KK)conv(KK) is smaller than the larger between the expectation on KK and the expectation on KK.

[We will need the above only for K,KK,K convex, but is might be true in general]

Take now any set KK and apply a rotation RR to it centered on the origin, obtaining R(K)R(K). You are going to have f(K)=f(R(K))f(K)=f(R(K)), because the rotation leaves the length of the elements of KK invariant. If I am right about the conjecture, f(conv(KR(K)))f(K)f(conv(KR(K)))f(K). Since for any optimal LL you could consider L=RR(L)=conv(RR(L))L=RR(L)=conv(RR(L)), where RR indicates the union over all rotations, and have f(L)f(L)f(L)f(L)f(L)f(L), it would seem that the optimal LL can be chosen to be the smallest sphere containing KK.


It would be sufficient to prove that Econv(A)EAEconv(A)EA for the expectation of a convex function. That EKKmax{EK,EK}EKKmax{EK,EK} seems easy.
Marco

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I am not entirely sure I get your answer. But it is definitely not true that L can be chosen to be the smallest sphere containing K. Consider a long thin cylinder in dd dimensions of length tt. Then any sphere SS containing KK should have f(S)tf(S)t. But if you construct L=conv(KU)L=conv(KU) where U is a sphere or radius roughly c1t/dc1t/d you get f(L)f(L) roughly c2t/d. (where c1,c2 are constants)
Ashwinkumar B V
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