람다 미적분을 입력 한 함수는 계산할 수 없습니다

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형식화되지 않은 람다 계산법으로 계산할 수 있지만 형식화 된 람다 계산법으로 계산할 수없는 함수의 예를 알고 싶습니다.

초보자이기 때문에 배경 정보를 약간 반복하여 주시면 감사하겠습니다.

감사.

편집 : 입력 된 람다 미적분학을 통해 시스템 F와 단순 유형의 람다 미적분학에 대해 알고 싶었습니다. 기능적으로, 나는 Turing-computable 기능을 의미합니다.

-calculi 에는 많은 타이핑 분야가 있으며 요청에 대한 답변은 선택하는 타이핑 분야 중 일부에 달려 있습니다. 또한 기능의 의미에 따라 다릅니다. 차이의 한 가지 예는 시스템 F 와 같은 타이핑 분야 는 정규화 프로그램 만 입력 할 수 있지만 유형이 지정되지 않은

-calculus에는 정규화 되지 않은 용어가 포함되어 있다는 것입니다.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Martin Berger 2012 년

나는 시스템 F와 간단한 유형의 람다 미적분학에 대해 생각하고있었습니다. 기능적으로, 나는 튜링 컴퓨팅 기능을 의미합니다.

— Timothy Zacchari

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람다 미적분학에서 함수로 할 수있는 유일한 것은 그것을 적용하는 것입니다. 결과적으로 유형의 닫힌 함수를 작성할 수있는 방법이 없습니다. 이 함수는 함수 인수를 사용하여 Godel 코드를 리턴합니다. $(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

이것을 Heyting 산술의 공리로 추가하는 것을 일반적으로 "건축적인 교회 논문"이라고하며 강하게 반 고전적 공리입니다. 즉, HA에 추가하지만 Peano 산술에는 추가하지 않는 것이 좋습니다! (기본적으로 모든 튜링 머신이 멈추거나 멈추지 않는 것은 고전적인 사실이며이 사실을 목격 할 수있는 계산 가능한 기능은 없습니다.)

— 닐 크리슈나 스와미
소스

이것이 확장 이론과 어떻게 일치하는지 이해하지 못합니다 : f와 g를 동일하게 확장하지만 구현과 고델 코드가 다릅니다. 함수가 f와 g에 대해 같은 숫자를 반환합니까?

— 코디

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확장 성과 일치하지 않습니다! 그러나 HA에서

및

는 기능 / 레코드가 아닌 논리적 연결입니다. 따라서 실현 가능해야하지만 실현자가 확장 할 필요는 없습니다. Andrej Bauer는이 분야의 전문가이므로 질문을하면 좋은 답변을 얻을 수 있습니다.

\forall

$\forall$

\exists

$\exists$

— Neel Krishnaswami

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가장 간단한 대답은 유형이 지정된 람다 미적분학이 논리 (간단히 유형이 지정된 람다 미적분학-> 술어 논리; 시스템 f-> 2 차 논리)에 해당하고 일관된 논리가 자체 일관성을 입증 할 수 없다는 사실에 의해 제공됩니다.

$f$ $f$ 2 차 로직 (2 차 로직이 일치하지 않음).

$f$ $f$

주의 사항 2 : 간혹 "간단한 유형의 람다 미적분학"이란 사람들은 "고정 소수점 연산자 또는 재귀 함수가있는 단순한 유형의 람다 미적분학"을 의미합니다. 이것은 PCF 이며, 형식화되지 않은 람다 미적분처럼 계산 가능한 함수를 계산할 수 있습니다.

— 롭 시몬스
소스

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$\lambda$ $Y$ $\lambda$

$\lambda$ $Y$

— 안드레이 바우어
소스

어떤 이유로 나는 당신이 시스템 F에서 Ackermann을 할 수 있다고 내 머리 속에 그것을 가지고있었습니다 ...

— Rob Simmons

@Rob, 내가 이해하는 것처럼 Andrej는 그렇지 않다고 말하지 않습니다.

— Kaveh

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λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

아, 멍청한거야 (시스템 F에 대한 이야기와 STLC에 대한 이야기 사이에 질문이 모호하기 때문에 더 강력한 시스템을 선택하고 더 간단한 질문에 대해 잊었습니다.)

— Rob Simmons

λ

$\lambda$

λ m . m (λ f n . n f (f \underline{1})) s u c

$\lambda m.m(\lambda f n.n f(f \underline{1}))~\mathsf{suc}$

(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)

$(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)$

\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d

$\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d$

Y

$Y$

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$\mathtt{a}^*$

— 샘 토빈 호흐 슈타 트
소스

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(p \to p) \to p \to p

$(p \to p) \to p \to p$

p

$p$

2

$\lambda$

@Marting : 감사합니다! 저는 지금 독일에 살고 있습니다. 그래서 이것은 독일어를 연습 할 수있는 좋은 추가 동기입니다. :)

— Neel Krishnaswami

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내가 정규화하는 미적분학의 한계에 대한 한 가지 비전은 계산 각도이다. 핵심 단순 유형 람다 미적분학, 시스템 F 또는 구성 미적분학과 같은 강력하게 정규화 된 유형 미적분학에서는 모든 항이 결국 종료된다는 증거가 있습니다.

경우 이 증거 건설, 당신은이 계산 시간에 상한선 보장되는 모든 조건을 평가하기위한 고정 된 알고리즘을 얻을. 또는 (필요하지 않은) 증거를 연구하고 그로부터 상한선을 추출 할 수 있습니다 .이 계산법은 표현력 이 높기 때문에 거대 할 수 있습니다 .

이 범위는이 고정 된 람다 미적분에 입력 할 수없는 함수의 "자연적인"예를 제공합니다.이 범위보다 점진적으로 뛰어난 모든 산술 함수.

내가 정확하게 기억한다면, 단순 유형 람다 미적분에 입력 된 용어는 지수 탑에서 평가 될 수 있습니다 O(2^(2^(...(2^n)..). 이 계산법에서는 그러한 모든 탑보다 빠르게 성장하는 기능을 표현할 수 없습니다. 시스템 F는 직관적 인 2 차 로직에 해당하므로 계산 능력은 엄청나게 크다. 훨씬 더 강력한 이론의 계산 능력을 얻기 위해, 우리는 일반적으로 계산 이론 대신에 이론 이론과 모델 이론 (예를 들어 어떤 서 수가 구성 될 수 있는지)을 추론합니다.

— Gasche
소스

0

$\Delta = \lambda x. x x$ $\Delta \Delta \to_\beta ~\Delta \Delta$ $\Delta$ $A$ $A = A \to A$

— 찰스
소스

λ

$\lambda$

A

$A$

A \equiv A \to A

$A\equiv A \to A$

예, 당신 말이 맞습니다.하지만 나는 틀린 유형의 람다 미적분학이나 시스템 F에서 강력하게 정규화되는 그러한 유형을 가질 수는 없다고 생각했습니다.

— Charles

Δ Δ

$\Delta\Delta$

Δ Δ

$\Delta\Delta$

@Kaveh 이유는 유형 데 A그러한 A \ident A \rightarrow A이상하지? 내가 어리석은 소리, 내가 무엇을 간과하고 있습니까?

— Martijn

아마도 세트와 함수 공간에 대해 고전적으로 생각하고있을 것입니다. 유한 바이너리 문자열과 그에 대한 계산 가능한 함수에 대해 생각해보십시오.

— Kaveh