최적화 문제 설정-np-complete입니까?

집합 주어진다. 각 요소 에 대해 가중치 및 비용 있습니다. 목표는 다음 목적 함수를 최대화하는 크기 의 서브 세트 을 찾는 것입니다 . $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ $e_i$ $w_i>0$ $c_i>0$ $M$ $k$ .

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin 미디엄} 승_{나는} 씨_{나는}}{\sum_{{이자형}_{나는} \notin 미디엄} 씨_{나는}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$

문제가 NP-hard입니까?

목적 함수가 이상해 보이기 때문에 목적 함수의 적용을 설명하는 것이 도움이됩니다.

우리가 가정 N 항목은 에 과가 각 객체의 복사본이 우리의 재고. 우리는 일부 고객을 가지고 그들은 자신의 체중에 비례하여 이러한 개체에 관심이 더와 객체를 의미 $e_1$ $e_n$ $c_i$ $e_i$ $w_i$ $w_i$ 가 더 대중적 . 온라인 판매 시스템이 있으며 고객의 요청에 정확하게 응답해야합니다. 우리는 그 모양으로 물체를 인식 할 수 없습니다 (모두 동일하게 보입니다!). 그러나 우리는 그것들을 찾을 분류 기가 있습니다. 각 분류기는 개체의 복사본을 감지하는 데 사용할 수 있습니다. 우리는 고객 만족을 극대화하기 위해 k 분류기를 실행하는 것을 목표로합니다.

추신 : 모든 대해 경우에 대해 생각하는 것이 유용 할 수 있습니다 . 그러나 나는 확실하지 않다. [ 나는 이것에 대해 틀렸다! 이 가정에 의해 P에있다 ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— 나수
소스

올바른 용어는 M이 아닌 요소의 가장 큰 무게보다 작거나 같습니다. 따라서 무게가 큰 요소가 있으면 낭비하지 않고 M에 넣는 것이 좋습니다. 따라서 M은 가중치가 가장 큰 요소로 구성되어야합니다. 권리?

— zotachidil

비용도 중요하기 때문에 정확하지 않습니다. 다음 예를 고려하십시오.

— Nasooh

w1 = 50, c1 = 80-w2 = 40, c2 = 15-w3 = 10, c3 = 5. k가 1 인 경우 e2를 선택하는 것이 e1보다 유리합니다.

— Nasooh

네가 옳아. 흠 ...

— zotachidil

동기 부여를 설명해 주셔서 감사합니다. 불행히도 귀하의 설명과 질문의 목적 기능 사이의 연결은 여전히 명확하지 않지만 질문을 합리적인 길이로 유지하려면 현재 설명에 만족해야한다고 생각합니다.

— Ito Tsuyoshi

답변:

아래의 답변은 문제의 특별한 경우가 다항식 시간으로 해결할 수 있음을 관찰합니다. 이것은 게시물의 질문에 완전히 대답하지는 않지만 NP 경도 증거에 필요한 내용에 대한 통찰력을 제공하고 게시물에 대한 추가 관심을 유발할 수 있습니다 ...

관측. 게시물의 문제는 각 가 정수인 경우 주어진 시간 다항식으로 및 실행 되는 알고리즘을 가지고 있습니다. $c_i$ $n$ 있습니다. $D = \sum_i c_i$

증거 스케치. 모든 입력 수정 여기서, 및 (WLOG) . 문제를 약간 표현하면 목표는 크기 의 를 최대화하는 것입니다. $(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ . $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

다음과 같은 동적 프로그램을 고려하십시오. 임의의 정수의 와 , 및 정의 $(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$ 원하는 해는

ϕ (디_{1}, 디_{2}, 케이, 미디엄) = 최대 {\sum_{나는 \in 미디엄} 승_{나는} (씨_{나는} / 디_{1} - 1) : 미디엄 \subseteq [미디엄], | 미디엄 | = 케이, \sum_{나는 \in 미디엄} 씨_{나는} = 디_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

에 대한 가능한 솔루션을 을 포함하고 그렇지 않은 솔루션으로 분할하면 반복 $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$ 우리는 경계 사례를 연습으로 남겨 둡니다.

ϕ (디_{1}, 디_{2}, 케이, 미디엄) = 최대 {\begin{cases} ϕ (디_{1}, 디_{2} - 씨_{미디엄}, 케이 - 1, 미디엄 - 1) + 승_{미디엄} (씨_{미디엄} / 디_{1} - 1) \\ ϕ (디_{1}, 디_{2}, 케이, 미디엄 - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

하위 문제의 수는 이며 반복의 각 오른쪽에 대해 일정한 시간에 평가할 수 있으므로 알고리즘은 시간 다항식 및 실행됩니다 . $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

추론. P = NP가 아닌 한, NP- 경도를 나타내는 감소는 경우로 감소합니다 $D$ $n$

말. $w_i$

$w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— 닐 영
소스

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

@ WillardZhan, 그렇습니다.

— 닐 영

-6

당신은 제한없이 기능의 최대화를 요구하고 있습니까?

정말 간단합니다. M이 가장 큰 집합이면 최상의 솔루션입니다. 아무것도 계산할 필요가 없습니다.

이 문제는 배낭 문제와 비슷해 보입니다.

— 기예르모.
소스

문제는 "크기 k의 부분 집합 M"입니다.

— Ito Tsuyoshi