체스 판에서 완벽한 매칭?

두 사람이 서로 공격하지 않고 체스 판에 놓을 수있는 최대 기사 수를 찾는 문제를 고려하십시오. 답은 32입니다. 완벽한 매칭을 찾기 란 그리 어렵지 않습니다. (나이트 이동으로 유도 된 그래프는 이분의 일이며, 4 × 4 보드와 완벽하게 일치합니다.) 최소한 가장자리 커버입니다. 답이 ⌈ m n 임을 증명하는 것도 어렵지 않습니다.때마다m×n체스 판의$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$경우 2 ⌉:일치하는 항목을 표시하고 약간의 인덕션 풋워크를 수행합니다.$m \times n$3 ≤ m , n ≤ $m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

반면에 체스 판이 토 로이드 형이고 이 짝 수면 증거는 작은 보드에 대해 일치를 표시하지 않아도됩니다.지도 는 균일 한 길이의 사이클 만 있으므로 완벽하게 일치해야합니다.( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 $m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

직사각형 체스 판에 해당하는 것이 있습니까? 즉, 충분히 큰 체스 판에 항상 완벽하게 일치 한다는 것을 보여주는 더 간단한 방법이 있습니까? 대형 보드의 경우 직사각형 보드와 토 로이드 보드는 누락 된 가장자리의 비율이 0이된다는 점에서 거의 동일하지만 그 경우 완벽한 일치를 보장하는 이론적 결과는 알지 못합니다.$m, n$

한 방향으로 점프하는 대신 기사가 어느 방향 으로든 정사각형을 뛰어 넘었다면 어떨까요? 또는 홀수이고 프라임이있는 제곱 ? 충분히 큰 대한 답이 임을 증명하는 간단한 방법 이 있는 경우 (예 : ) 무엇을합니까 와 같은 모양을?( 2 , 3 ) ( p , q ) p + q p , q ⌈ m $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

대답은 모두 큰 대m,n은예를 들어, 만약P=6및Q=3. 왜? 나머지로 인해$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ 이제 그래프 세 이분 그래프의 (정점) 분리 된 조합 인 각에서 우리는 더 큰 반을 선택할 수있다. 예를 들어 m = n = 100 인 경우이 방법으로 5002 기사를 배치 할 수 있습니다. (이것은 x + y 때문입니다$\mod 3$$m=n=100$ 은 6 쌍으로 구성되며 3 쌍으로 구성되며, 쌍의 카디널리티 차이는 1 , 1 , 2 입니다.)$x+y \mod 6$$1,1,2$

와 q 가 상대 소수 라는 조건을 추가하면 어떻게되는지 모르겠습니다 . (2 제수와는 별도로 p + q 및 p - q 는 상대 소수입니다. 실제로 이것은 우리가 필요하고 p + q 가 홀수 임을 나타내는 조건입니다 .)$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$