정렬 된 목록의 대략적인 합계

최근에는 정렬 된 음이 아닌 숫자 목록의 대략적인 합계를 계산하는 문제를 연구했습니다. 고정 된 에 대해, 시간 근사 방식이 합에 대해 근사값을 제공하도록 도출되었습니다 . 이 논문은 아직 마무리되지 않은 http://arxiv.org/abs/1112.0520에 게시되어 있습니다.$\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

이 문제에 대한 기존의 작품을 찾고 있었지만 원격으로 관련된 몇 가지 논문 만 가져와 인용했습니다. 이 문제가 전에 연구 되었습니까? 누군가이 문제에 대한 기존 연구를 알고 있다면 알려주십시오. 도움을 주셔서 감사 드리며 이에 따라 인용을 업데이트하겠습니다. 결과가 오래되면 용지가 쓰레기통에 버려집니다.

이 문제는보다 일반적인 문제가 대부분 해결되는 다음 백서에서 해결됩니다. http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ .

Har-Peled의 코어 세트 용지에 대한 증명 정보를 읽은 후 , 그의 방법은 정렬 된 음이 아닌 숫자의 대략적인 합계에 대한 O (log n) 시간 알고리즘을 의미한다는 것을 이해합니다. 코어 세트는 정렬 된 목록에서 숫자의 하위 집합으로 구성되며 해당 위치는 목록 크기 n과 근사 비율 엡실론에만 의존합니다. 코어 세트의 모든 점의 가중치는 O (log n) 시간으로 계산할 수 있습니다. 따라서 논문에서 명확하게 주장하지는 않지만 정렬 된 목록의 대략적인 합계에 대해 O (log n) 시간 알고리즘을 제공합니다. 알고리즘이 Har-Peled 논문의 주장 된 이론 대신 코어 세트 구성 증명에 숨겨져 있기 때문에 논문의 결과를 확인한 직후에는 그러한 결론을 보지 못했습니다.

O (log n) 시간 알고리즘이 포함 된 섹션 4를 삭제하여 논문을 수정했습니다. Har-Peled의 논문은 업데이트 된 버전에서 인용되었습니다. 첫 번째 알고리즘은 O (log n) 시간과 비교할 수없는 복잡성을 가지고 있기 때문에 여전히 유지됩니다. 예를 들어, 입력 정렬 목록의 숫자가 0에서 (log n) ^ {O (1)} 범위 인 경우 O (log log n) 시간으로 실행됩니다. 이 알고리즘은 2 차 영역 검색을 기반으로하며 코어 세트 구성과 크게 다릅니다. 시간 하한도 유지되지만 약간 수정되었습니다.

이제이 라인의 작업에 대해 더 나은 아이디어를 얻었습니다. 이 웹 사이트의 이론적 컴퓨터 과학 동료의 전문적인 도움에 진심으로 감사드립니다. 수정 된 논문은 며칠 안에 같은 보관소에서 구할 수 있습니다. 누락 될 수있는 관련 참조에 대한 추가 의견을 진심으로 환영합니다.

빈푸

Har-Peled의 코어 세트 용지는 대략적인 합 문제 에 대한 크기 의 코어 세트가 있음을 보여줍니다 . 이것은 사소한 것처럼 보이며 근사 합계 문제에 대한 O ( log n ) 시간 알고리즘을 분명히 암시하지 않습니다 .$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

이라고 가정하십시오 . 고쳐 졌어. 정렬 된 목록 0 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ ⋯ ≤ a n 의 경우 다음 점은 대략적인 합 문제에 대한 간단한 핵심 집합을 형성합니다.$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$